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辽宁省沈阳市铁路实验中学2015届高三上学期期中数学试卷(理科)【解析版】


辽宁省沈阳市铁路实验中学 2015 届高三上学期期中数学 试卷(理科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) 1.若集合 A={y|y≥0},A∩B=B,则集合 B 不可能是 ( ) A. B. C.{y|y=lgx,x>0} D .?

考点:子集与交集、并集运算的转换. 专题:计算题. 分析:根据题意,由交集的性质可得若 A∩B=B,则 B 是 A 的子集,分析选项:对于 A、集 合{y|y= ,x≥0}可化为{y|y≥0},分析可得有 A∩B=B 成立,对于 B、分析可得{y|y=( ) ,
x

x∈R}={y|y>0},有 B?A,则 A∩B=B 成立,对于 C、分析可得{y|y=lgx,x>0}=R,此时 A?B,则 A∩B=B 不成立,对于 D、由空集的性质,易得 B?A,A∩B=B 成立,即可得答案. 解答: 解:根据题意,若 A∩B=B,则 B 是 A 的子集,分析选项可得: 对于 A、集合{y|y= ,x≥0}={y|y≥0},有 A=B,此时 A∩B=B 成立, 对于 B、{y|y=( ) ,x∈R}={y|y>0},有 B?A,则 A∩B=B 成立, 对于 C、{y|y=lgx,x>0}=R,此时 A?B,则 A∩B=B 不成立, 对于 D、若 B=?,有 B?A,则 A∩B=B 成立, 故选 C. 点评:本题考查集合的交集的判断,关键是由 A∩B=B,得到 B 是 A 的子集. 2.已知复数 z=1+ai(a∈R) (i 是虚数单位) , A.2 B.﹣2 C.±2 ,则 a=( ) D.
x

考点:复数代数形式的乘除运算. 专题:计算题. 分析:由题意可得 ,再由两个复数相等的充要条件可得 =﹣ ,

= ,由此求得 a 的值.

解答: 解:由题意可得

,即

=

=



1



=﹣ ,

= ,

∴a=﹣2, 故选 B. 点评: 本题主要考查复数的基本概念, 两个复数代数形式的除法, 两个复数相等的充要条件, 属于基础题. 3. 若函数 y=f (x﹣1) 的图象与函数 2x﹣1 2x A.e B.e 考点:反函数. 专题:计算题;函数的性质及应用. 分析:求出函数 的反函数为 y=e ,由题意可得 f(x﹣1)=e ,从而求得 2x f(x)=e .21*cnjy*com 2y﹣2 2x﹣2 解答: 解:由于函数 ,解得 x=e ,故它的反函数为 y=e . 再由函数 y=f(x﹣1)的图象与函数 的图象关于直线 y=x 对称, 2x﹣2 可得 y=f(x﹣1)是函数 的反函数,故 f(x﹣1)=e , 2x 故 f(x)=e , 故选 B. 点评:本题主要考查求反函数的步骤和方法,函数与反函数的图象间的关系,属于基础题.
2x﹣2 2x﹣2

的图象关于直线 y=x 对称, 则f (x) =( 2x+1 2x+2 C .e D.e

)

4.若 cosα=﹣ ,α 是第三象限角,则 A.2 B. C.﹣2

=(

) D.﹣

考点:半角的三角函数;两角和与差的正切函数. 专题:三角函数的求值. 分析:由条件求得 sinα=﹣ ,将表达式 把切化弦可得 利用两角和的正切公式展开,再

,由此计算即可得到所求式子的值.

解答: 解:若 cosα=﹣ ,α 是第三象限角,则有 sinα=﹣ .



=

=

=

=﹣ ,

故选 D. 点评: 本题主要考查三角恒等变换中的倍角公式的灵活运用、 同角的三角函数关系等知识以 及相应的运算能力, 还要注意条件中的角 α 与待求式中角 属于中档题. 的差别, 注意转化思想的应用,

2

5.如图的程序框图,如果输入三个实数 a,b,c,要求输出这三个数中最大的数,那么在 空白的判断框中,应该填入下面四个选项中的( )

A.c>x

B.x>a

C.c>b

D.b>c

考点:程序框图. 专题:算法和程序框图. 分析:根据流程图所示的顺序,逐框分析程序中各变量、各语句的作用,由于该题的目的是 选择最大数, 因此根据第一个选择框作用是比较 x 与 b 的大小, 故第二个选择框的作用应该 是比较 x 与 c 的大小,而且条件成立时,保存最大值的变量 X=C. 解答: 解:由流程图可知: 第一个选择框作用是比较 x 与 b 的大小, 故第二个选择框的作用应该是比较 x 与 c 的大小, ∵条件成立时,保存最大值的变量 X=C 故选 A. 点评:本题主要考察了程序框图和算法,是一种常见的题型,属于基础题.

6.已知函数 A. B.

,则 f(2+log23)的值为( C. D.

)

考点:函数的值;分段函数的解析式求法及其图象的作法. 专题:计算题. 分析: 先判断出 2+log23<4, 代入 ( f x+1) =f (3+log23) , 又因 3+log23>4 代入 ( f x) = 利用指数幂的运算性质求解. ,

3

解答: 解:∵1<log23<2,∴3<2+log23<4, ∴f(2+log23)=f(2+log23+1)=f(3+log23) , ∵4<3+log23<5,∴f(3+log23)= = × = ,

故选 A. 点评:本题的考点是分段函数求函数值,先判断自变量的范围,再代入对应的关系式,根据 指数幂的运算性质进行化简求值. 7.在△ ABC 中,

,D 是 BC 边上任意一点(D 与 B,C 不重合)且 =( ) C. D.

A.

B.

考点:向量在几何中的应用;平面向量数量积的运算. 专题:平面向量及应用. 分析:作高 AE,不妨设 E 在 CD 上,设 AE=h,CE=x,CD=p,BD=q,则 DE=p﹣x,BE=p+q ﹣x,根据 ,可得 pq=BD?CD=q(q+2p﹣2x) ,从而可得结论.

解答: 解:作高 AE,不妨设 E 在 CD 上,设 AE=h,CE=x,CD=p,BD=q,则 DE=p﹣x, BE=p+q﹣x, 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 则 AD =AE +DE =h +(p﹣x) ,AB =AE +BE =h +(p+q﹣x) , 2 2 2 2 2 所以 AB ﹣AD =(p+q﹣x) ﹣(p﹣x) =2pq﹣2xq+q ,21 世纪教育网 ∵ ,

∴pq=BD?CD=q(q+2p﹣2x) , ∵q≠0,∴p=q+2p﹣2x, ∴x= = ,

即 E 为 BC 中点,于是 ABC 为等腰三角形. ∵顶角为 ,∴底角 B=

故选 B. 点评:本题主要考查了解三角形问题.解题的关键是通过题设条件建立数学模型,考查了学 生分析问题和解决问题的能力.

8.函数 y=tanx+sinx﹣|tanx﹣sinx|在区间

内的图象是(

)

4

A.

B.

C.

D. 考点:正切函数的图象;分段函数的解析式求法及其图象的作法;三角函数值的符号;正弦 函数的图象;余弦函数的图象. 专题:压轴题;分类讨论. 分析: 本题的解题关键是分析正弦函数与正切函数在区间 上的符号, 但因为

已知区间即包含第 II 象限内的角,也包含第 III 象限内的角,因此要进行分类讨论. 解答: 解:函数 ,

分段画出函数图象如 D 图示, 故选 D. 点评:准确记忆三角函数在不同象限内的符号是解决本题的关键,其口决是“第一象限全为 正,第二象限负余弦,第三象限负正切,第四象限负正弦.”【出处:21 教育名师】 9.在△ ABC 中,下列说法不正确的是( )21 世纪教育网 A.sinA>sinB 是 a>b 的充要条件 B.cosA>cosB 是 A<B 的充要条件 2 2 2 C.a +b <c 的必要不充分条件是△ ABC 为钝角三角形 2 2 2 D.a +b >c 是△ ABC 为锐角三角形的充分不必要条件 考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断;命题的真假判断与应用. 专题:解三角形. 分析:根据正弦定理,可判断 A 的真假;根据余弦函数的单调性可判断 B 的真假,根据余 弦定理可判断 C,D 的真假.2·1·c·n·j·y 解答: 解:在△ ABC 中, :∵A>B,∴a>b,∵a=2RsinA,b=2RsinB,∴sinA>sinB 反之,∵sinA>sinB,则 2RsinA>2RsinB,∴a>b,∴A>B. ∴“A>B”是“sinA>sinB”的充要条件,故 A 正确; 由余弦函数在(0,π)上单调递减,可得 cosA>cosB 是 A<B 的充要条件,故 B 正确; 2 2 2 当 a +b <c 成立时,由余弦定理可得 cosC<0,即 C 为钝角,此时△ ABC 为钝角三角形, 但△ ABC 为钝角三角形时,C 可能为锐角,故 C 正确; 2 2 2 a +b >c 成立时,由余弦定理可得 cosC>0,即 C 为锐角,但此时△ ABC 形状不能确定, 2 2 2 2 2 2 但△ ABC 为锐角三角形是地,A 一定为锐角,此时 a +b >c 成立,故 a +b >c 是△ ABC 为锐角三角形的必要不充分条件,故 D 错误

5

故选 D 点评: 本题又命题的真假判断为载体考查了正弦定理和余弦定理, 熟练掌握正余弦定理及推 论是解答的关键.

10.函数
2 2

,当 0<x<1 时,下列式子大小关系正确的是(
2 2

) C.f(x)<f(x )
2

A.f (x)<f(x )<f(x) B.f(x )<f (x)<f(x) 2 2 2 <f (x) D.f(x )<f(x)<f (x)

考点:利用导数研究函数的单调性;函数单调性的性质;不等式比较大小. 2 2 分析:由 0<x<1 得到 x <x,要比较 f(x)与 f(x )的大小,即要判断函数是增函数还 2 是减函数,可求出 f′(x)利用导函数的正负决定函数的增减性.即可比较出 f(x)与 f(x ) 大小. 解答: 解:根据 0<x<1 得到 x <x,而 f′(x)=
2 2



因为(lnx) >0,所以根据对数函数的单调性得到在 0<x<1 时,lnx﹣1<0,所以 f′(x) <0,函数单调递减. 2 所以 f(x )>f(x) ,根据排除法 A、B、D 错,C 正确. 故选 C 点评:考查学生利用导数研究函数的单调性,以及会利用函数的单调性判断函数值的大小, 在做选择题时,可采用排除法得到正确答案. 11.给出以下四个命题: ①若命题 p:“?x∈R,使得 x +x+1<0”,则¬p:“?x∈R,均有 x +x+1≥0”; x x ②函数 y=3?2 +1 的图象可以由函数 y=2 的图象仅通过平移得到; ③函数 ④在△ ABC 中,若 与 = = 是同一函数; ,则 tanA:tanB:tanC=3:2:1;
2 2

其中真命题的个数为( ) A.1 B.2

C .3

D.4

考点:命题的真假判断与应用. 专题:计算题. 分析:①由特称命题判断①的真假;②由函数图象的平移能判断②的真假;③由对数函数 和三角函数的性质能判断③的真假;④根据平面向量的数量积运算和三角函数的性质能判 断④的真假. 2 解答: 解:①∵命题 p:“?x∈R,使得 x +x+1<0”是特称命题, 2 ∴¬p:“?x∈R,均有 x +x+1≥0”,故①正确; x x ②函数 y=3?2 +1 的图象可以由函数 y=2 的图象通过平移变换和振幅变换得到,故②不正 确; ③ =ln|tan |,故③不正确;

6

④根据平面向量的数量积运算, ? ∵ ∴ =CA?ABcosA21 世纪教育网版权所有 = = = , =

?

=AB?BCcosB,

?

=BC?CAcosC,

, = = ,

根据正弦定理,得,

∴tanA:tanB:tanC=6:2:3.故④不正确. 故选 A. 点评:本题考查命题的真假判断,解题时要认真审题,注意特称命题、函数性质、平面向量 等知识点的合理运用. 【来源:21·世纪·教育·网】

12.已知 y=f(x)为 R 上的连续可导函数,当 x≠0 时,f(x)+ 数 g(x)=f(x)+ 的零点的个数为( A.1 B.0 )2-1-c-n-j-y C .2 D.0 或 2

>0,则关于 x 的函

考点:根的存在性及根的个数判断. 专题:函数的性质及应用;导数的概念及应用. 分析:由题意可得,x≠0,因而 g(x)的零点跟 xg(x)的非零零点是完全一样的.当 x> 0 时,利用导数的知识可得 xg(x)在(0,+∞)上是递增函数,xg(x)>1 恒成立,可得 xg(x)在(0,+∞)上无零点.同理可得 xg(x)在(﹣∞,0)上也无零点,从而得出结 论. 解答: 解:由于函数 g(x)=f(x)+ ,可得 x≠0, 因而 g(x)的零点跟 xg(x)的非零零点是完全一样的, 故我们考虑 xg(x)=xf(x)+1 的零点. 由于当 x≠0 时,f(x)+ >0, ) > 0, www-2-1-cnjy-com

①当 x>0 时, (x?g (x) ) ′= (xf (x) ) ′=xf( ′ x) +f ( x) =x ( f( ′ x) + 所以,在(0,+∞)上,函数 x?g(x)单调递增函数. 又∵ [xf(x)+1]=1,

∴在(0,+∞)上, 函数 x?g(x)=xf(x)+1>1 恒成立, 因此,在(0,+∞)上,函数 x?g(x)=xf(x)+1 没有零点. ②当 x<0 时,由于(x?g(x) )′=(xf(x) )′=xf′(x)+f(x)=x( f′(x)+ )<0,

故函数 x?g(x)在(﹣∞,0)上是递减函数,函数 x?g(x)=xf(x)+1>1 恒成立,

7

故函数 x?g(x)在(﹣∞,0)上无零点. 综上可得,函 g 数(x)=f(x)+ 在 R 上的零点个数为 0, 故选:B21 世纪教育网 点评:本题考察了函数的单调性,导数的应用,函数的零点,属中档题. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,把答案填在答题纸中的横线上) 13.△ ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,若 a ﹣c =2b,且 sinB=6cosA?sinC, 则 b 的值为 3. 考点:余弦定理;正弦定理. 专题:解三角形. 分析: 由条件利用正弦定理可得 b=6c?cosA, 再把余弦定理代入化简可得 b=3× 再把 a ﹣c =2b 代入化简可得 b(b﹣3)=0,由此可得 b 的值. 解答: 解:△ ABC 中,∵sinB=6cosA?sinC,∴由正弦定理可得 b=6c?cosA=6c? =3× .
21*cnjy*com

2

2



2

2

∵a ﹣c =2b,∴b=3?

2

2

,化简可得 b(b﹣3)=0,由此可得 b=3,

故答案为 3. 点评:本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用,属于中档题.

14.三个共面向量

两两所成的角相等,且 = 或 6.

考点:平面向量数量积的坐标表示、模、夹角. 专题:平面向量及应用. 分析:通过分类讨论和利用向量的模的计算公式即可求出. 解答: 解:∵三个共面向量 ①当它们所成的角为 0 时,则 ②当它们所成的角为 = 时,则 = = . = 两两所成的角相等,∴它们所成的角为 0 或 = =1+2+3=6; .

8

故答案为 或 6 点评:熟练掌握分类讨论思想方法和向量的模的计算公式是解题的关键.

15.设 n=∫0

4cosxdx,则二项式(x﹣ ) 的展开式的常数项是 6.

n

考点:定积分;二项式定理的应用. 专题:导数的概念及应用. 分析:利用微积分基本定理求出 n,利用二项展开式的通项公式求出通项,令 x 的指数等于 0,求出常数项. 解答: 解:n=∫0
4

4cosxdx=4sinx|

=4
r r 4﹣2r

∴(x﹣ ) 展开式的通项为 Tr+1=(﹣1) C4 x 令 4﹣2r=0 得 r=2
2

故展开式的常数项是 C4 =6, 故答案为:6 点评:本题主要考查了积分的计算,利用二项展开式的通项求解指定项,属于基础试题 16.给出下列六个命题: ①函数 f(x)=lnx﹣2+x 在区间(1,e)上存在零点; ②若 f′(x0)=0,则函数 y=f(x)在 x=x0 处取得极值; ③若 m≥﹣1,则函数 y= 的值域为 R;

④“a=1”是“函数

在定义域上是奇函数”的充分不必要条件.

⑤函数 y=f(1+x)的图象与函数 y=f(l﹣x)的图象关于 y 轴对称; ⑥满足条件 AC= ,AB=1 的三角形△ ABC 有两个.21 世纪教育网 其中正确命题的个数是①③④⑤. 考点:命题的真假判断与应用. 专题:函数的性质及应用. 分析:根据函数零点的判定定理可得①正确. 通过举反例可得②不正确. 根据对数的真数可取遍所有的正实数,可得此对数函数的值域为 R,故③正确. 根据 a=1 时,函数在定义域上是奇函数,再根据函数 在定义域上是奇函数

时,a=±1,可得④正确. 由函数 y=f(1+x)的图象与函数 y=f(l﹣x)的图象关于 y 轴对称,可得⑤正确.

9

由 AC= ,AB=1,利用正弦定理及由大边对大角可得△ ABC 是一个唯一的 直角三角形,故⑥不正确. 解答: 解:对于函数 f(x)=lnx﹣2+x,在区间(1,e)上单调递增,f(1)=﹣1,f(e) =e﹣1>0,根据函数零点的判定定理 21 教育网 可得,在区间(1,e)上存在零点,故①正确. 3 3 ②不正确,如当 f(x)=x 时,显然满足 f′(0)=0,但 y=f(x)=x 在 x=0 处没有极值. ③当 m≥﹣1,函数 y= 故真数可取遍所有的正实数, 故函数 y= 的值域为 R,故③正确. 的真数为 x ﹣2x﹣m,判别式△ =4+4m≥0,
2

④由 a=1 可得

, 定义域为 R, 关于原点对称,

=

=

﹣f(x) ,故函数在 定义域上是奇函数,故充分性成立. 若函数 在定义域上是奇函数,则有 f(0)=0,或 f(0)不存在,∴a=1,

或 a=﹣1,故不能推出 a=1. 故必要性不成立,故④正确. ⑤在函数 y=f(1+x)的图象上任意取一点(a,f(1+a) ) ,则点(a,f(1+a) )关于 y 轴的 对称点为 (﹣a,f(1﹣a) ) ,故函数 y=f(1+x)的图象与函数 y=f(l﹣x)的图象关于 y 轴对称,故 ⑤正确. ⑥△ ABC 中,由 AC= ,AB=1,利用正弦定理求得 sinC= ,再由大边对大

角可得 C=30°,∴B=90°, △ ABC 是一个唯一的直角三角形,故⑥不正确.21 世纪教育网 故答案为 ①③④⑤. 点评:本题主要考查命题的真假的判断,通过举反例来说明某个命题不正确,是一种简单有 效的方法,属于基础题. 21 世纪教育网 三、解答题(共 5 小题,满分 51 分) 17.在△ ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,若 (Ⅰ)求△ ABC 的面积; (Ⅱ)若 b=1,求 a 的值. 考点:正弦定理;同角三角函数间的基本关系. 专题:解三角形. , .

10

分析: (I)利用正弦定理化简已知的第一个等式,根据 sinC 不为 0,利用同角三角函数间的 基本关系求出 tanA 的值,由 A 为三角形的内角,利用特殊角的三角函数值求出 A 的度数, 进而确定出 sinA 与 cosA 的值,再利用平面向量的数量积运算法则计算第二个等式,求出 bc 的值,由 bc 与 sinA 的值,利用三角形的面积公式即可求出三角形 ABC 的面积; (II)由 bc 及 b 的值,求出 c 的值,再由 cosA 的值,利用余弦定理即可求出 a 的值. 解答: 解: (I)由正弦定理化简 asinC= ccosA 得:sinAsinC= sinCcosA, ∵C 为三角形的内角,sinC≠0, ∴sinA= cosA,即 tanA= , ∵A 为三角形的内角,∴A= 又 ? ,

=bccosA=2,∴bc=4, ;

则 S△ ABC= bcsinA= (II)∵bc=4,b=1, ∴c=4,又 cosA= ,

∴由余弦定理得:a =b +c ﹣2bccosA=1+16﹣4=13, 则 a= . 点评:此题考查了正弦、余弦定理,三角形的面积公式,同角三角函数间的基本关系,平面 向量的数量积运算,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握定理及公式是解本题的关键. 18.如图,在底面为直角梯形的四棱锥 P﹣ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90°,PA⊥平面 ABCD.PA=3,AD=2,AB=2 ,BC=6.21 教育名师原创作品 (1)求证:BD⊥平面 PAC; (2)求二面角 P﹣BD﹣A 的大小.

2

2

2

考点:二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的判定. 专题:计算题;空间角. 分析: (Ⅰ)由 PA⊥平面 ABCD,知 BD⊥PA.由 tan∠ABD= = ,tan∠BAC= = ,

知∠ABD=30°,∠BAC=60°.由此能够证明 BD⊥平面 PAC. (Ⅱ)连接 PE,由 BD⊥平面 PAC,知 BD⊥PE,BD⊥AE.所以∠AEP 为二面角 P﹣BD ﹣A 的平面角,由此能够求出二面角 P﹣BD﹣A 的大小. 解答: 解: (Ⅰ)∵PA⊥平面 ABCD,BD?平面 ABCD. ∴BD⊥PA.…

11

∵tan∠ABD=

=

,tan∠BAC=

=



∴∠ABD=30°,∠BAC=60°. ∴∠AEB=90°,即 BD⊥AC. ∵PA∩AC=A,∴BD⊥平面 PAC.… (Ⅱ)连接 PE,21 世纪教育网 ∵BD⊥平面 PAC,∴BD⊥PE,BD⊥AE. ∴∠AEP 为二面角 P﹣BD﹣A 的平面角.… 在 Rt△ AEB 中,AE=ABsin∠ABD= , ∴tan∠AEP= = ,

∴∠AEP=60°, ∴二面角 P﹣BD﹣A 的大小为 60°. 点评:本题考查直线与平面垂直的证明,考查二面角的求法.解题时要认真审题,注意空间 思维能力的培养. 19.已知函数 g(x)=ax ﹣2ax+1+b(a≠0,b<1) ,在区间[2,3]上有最大值 4,最小值 1, 设 f(x)= .www.21-cn-jy.com
x x 2

(Ⅰ)求 a,b 的值; (Ⅱ)不等式 f(2 )﹣k?2 ≥0 在 x∈[﹣1,1]上恒成立,求实数 k 的范围; (Ⅲ)方程 围. 考点:函数与方程的综合运用;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题:综合题;压轴题. 分析: (Ⅰ)只需要利用好所给的在区间[2,3]上有最大值 4,最小值 1,即可列出方程求的 两个未知数; (Ⅱ)要结合(Ⅰ)的结论将问题具体化,在通过游离参数化为求函数 ?(t)=t ﹣2t+1 最 小值问题即可获得问题的解答;21·世纪*教育网 (Ⅲ)可直接对方程进行化简、换元结合函数图象即可获得问题的解答. 2 解答: 解: (Ⅰ) (1)g(x)=a(x﹣1) +1+b﹣a 当 a>0 时,g(x)在[2,3]上为增函数 故 当 a<0 时,g(x)在[2,3]上为减函数 故 ∵b<1 ∴a=1,b=0
2

有三个不同的实数解,求实数 k 的范

12

(Ⅱ)由(Ⅰ)即 g(x)=x ﹣2x+1. 方程 f(2 )﹣k?2 ≥0 化为 , 令 ,k≤t ﹣2t+1 记 ?(t)=t ﹣2t+1
2 2 x x

2



∵x∈[﹣1,1]∴ ∴φ(t)min=0 ∴k≤0 (Ⅲ)方程

化为 |2 ﹣1| ﹣(2+3k)|2 ﹣1|+(1+2k)=0,|2 ﹣1|≠0 x 2 令|2 ﹣1|=t,则方程化为 t ﹣(2+3k)t+(1+2k)=0(t≠0) ∵方程
x x 2 x x

有三个不同的实数解,

∴由 t=|2 ﹣1|的图象知, 2 t ﹣(2+3k)t+(1+2k)=0 有两个根 t1、t2, 且 0<t1<1<t2 或 0<t1<1,t2=1 2 记 ?(t)=t ﹣(2+3k)t+(1+2k)





∴k>0.

点评:本题考查的是函数与方程以、恒成立问题以及解的个数的综合类问题.在解答的过程 当中充分体现了函数与方程的思想、 恒成立的思想以及数形结合和问题转化的思想. 值得同 学们体会反思.

13

20.已知向量 . (Ⅰ)求 f(x)的最小正周期 T; (Ⅱ)已知 a,b,c 分别为△ ABC 内角 A,B,C 的对边,A 为锐角,a=1,c= 恰是 f(x)在[0, ]上的最大值,求 A,b 和△ ABC 的面积.

,且 f(A)

考点:余弦定理;平面向量数量积的运算;三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性 及其求法;正弦定理. 专题:计算题. 分析: (I)根据向量数量积的坐标公式,并且结合三角函数的降次公式和辅助角公式化简, 得 f(x)=sin(2x+ )+2,再结合三角函数的周期公式,即可得到 f(x)的最小正周期 T; 时,f(x)有最大值 3,结合余弦定理

(II)根据(I)的表达式并且 A 为锐角,得当 A=

和题中数据列式,解出 b=1 或 b=2,最后利用正弦定理可得△ ABC 的面积. 解答: 解: (Ⅰ)∵ ∴( =(cosx+ sinx,﹣ ) sin2x+ … )+2….

)? =cosx(cosx+

sinx)+ = (1+cos2x)+ sin2x+ = =π.… )+2

∴f(x)= (1+cos2x)+ ∴f(x)的最小正周期 T=

sin2x+ cos2x+2=sin(2x+

(Ⅱ)由(Ⅰ)知:f(A)=sin(2A+ ∵A 为锐角, ∴当 2A+ =
2

<2A+

< 时,f(x)有最大值 3,…

时,即 A=
2 2

由余弦定理,a =b +c ﹣2bccosA, ∴ ∵△ABC 的面积 S= bcsinA ∴当 b=1 时,S= ×1× 综上所述,得 A= ×sin = ;当当 b=2 时,S= ×2× 或 A= ×sin . = .… ,∴b=1 或 b=2,…

,b=1,S△ ABC=

,b=2,S△ ABC=

点评:本题是一道三角函数综合题,着重考查了运用正余弦定理解三角形、三角函数的周期 性及其求法、三角恒等变形和平面向量数量积的运算等知识点,属于中档题. 21.已知函数 f(x)=x +ax﹣lnx,a∈R.
2

14

(1)若函数 f(x)在[1,2]上是减函数,求实数 a 的取值范围; (2)令 g(x)=f(x)﹣x ,是否存在实数 a,当 x∈(0,e](e 是自然常数)时,函数 g (x)的最小值是 3,若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由; 【来源:21cnj*y.co*m】 (3)当 x∈(0,e]时,证明: .
2

考点:利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题:计算题;综合题;压轴题. 分析: (1)先对函数 f(x)进行求导,根据函数 f(x)在[1,2]上是减函数可得到其导函数 在[1,2]上小于等于 0 应该恒成立,再结合二次函数的性质可求得 a 的范围. (2)先假设存在,然后对函数 g(x)进行求导,再对 a 的值分情况讨论函数 g(x)在(0, e]上的单调性和最小值取得,可知当 a=e 能够保证当 x∈(0,e]时 g(x)有最小值 3. (3)令 F(x)=e x﹣lnx 结合(2)中知 F(x)的最小值为 3,再令
2 2

并求

导,再由导函数在 0<x≤e 大于等于 0 可判断出函数 ?(x)在(0,e]上单调递增,从而可 求得最大值也为 3,即有 成立,即 成立.

解答: 解: (1)

在[1,2]上恒成立,

令 h(x)=2x +ax﹣1,有 得

2





(2) 假设存在实数 a, 使g (x) =ax﹣lnx (x∈ (0, e]) 有最小值 3, ①当 a≤0 时,g(x)在(0,e]上单调递减,g(x)min=g(e)=ae﹣1=3, ②当 ∴ ③当 时,g(x)在 上单调递减,在 ,a=e ,满足条件. 时,g(x)在(0,e]上单调递减,g(x)min=g(e)=ae﹣1=3,
2

= (舍去) ,

上单调递增

(舍去) ,

21 世纪教育网 2 综上,存在实数 a=e ,使得当 x∈(0,e]时 g(x)有最小值 3. 2 (3)令 F(x)=e x﹣lnx,由(2)知,F(x)min=3. 令 , ,

当 0<x≤e 时,?'(x)≥0,φ(x)在(0,e]上单调递增 ∴

15



,即

>(x+1)lnx.

点评: 本题主要考查导数的运算和函数的单调性与其导函数的正负之间的关系, 当导函数大 于 0 时原函数单调递增,当导函数小于 0 时原函数单调递减. 四、解答题(共 2 小题,满分 20 分)21 世纪教育网

22.已知直线 l 的参数方程为

(t 为参数) ,曲线 C 的极坐标方程是

以极点为原点,极轴为 x 轴正方向建立直角坐标系,点 M(﹣1,0) ,直 线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点.21cnjy.com (1)写出直线 l 的极坐标方程与曲线 C 的普通方程; (2)线段 MA,MB 长度分别记|MA|,|MB|,求|MA|?|MB|的值. 考点:简单曲线的极坐标方程;直线的参数方程. 专题:计算题;综合题. 分析: (1)将直线 l 的参数方程消去参数 t 得直线的普通方程,再化成直线 l 的极坐标方程, 曲线 C 的极坐标方程化成:ρsinθ=ρ cos θ,最后再化成普通方程即可; 2 (2)将直线的参数方程代入 y=x 得关于 t 的一元二次方程,再结合根与系数的关系即得 |MA|?|MB|=|t1t2|=2. 解答: 解(1)将直线 l 的参数方程消去参数 t 得:x=﹣1+y, ∴直线 l 的极坐标方程 曲线 C 的极坐标方程化成:ρsinθ=ρ cos θ, 2 其普通方程是:y=x
2 2 2 2 2



(2)将

代入 y=x



,3 分

∵点 M(﹣1,0)在直线上, ∴|MA|?|MB|=|t1t2|=2. 点评:本题考查点的极坐标和直角坐标的互化、直线的参数方程,体会在极坐标系和平面直 角坐标系中刻画点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化. 23.设函数 f(x)=|x﹣1|+|x﹣2| (1)求不等式 f(x)≤3 的解集; (2)若不等式||a+b|﹣|a﹣b||≤|a|f(x) (a≠0,a∈R,b∈R)恒成立,求实数 x 的范围. 考点:绝对值不等式;函数恒成立问题.

16

专题:计算题;压轴题. 分析: (1)根据绝对值的代数意义,去掉函数 f(x)=|x﹣1|+|x﹣2|中的绝对值符号,画出函 数函数 f(x)的图象,根据图象求解不等式 f(x)≤3,21·cn·jy·com (2)由||a+b|﹣|a﹣b||≤2|a|,得 2|a|≤|a|f(x) ,由 a≠0,得 2≤f(x) ,从而解得实数 x 的范围.

解答: 解: (1)

,…

所以解集[0,3]…

(2)由||a+b|﹣|a﹣b||≤2|a|,…21 世纪教育网 得 2|a|≤|a|f(x) ,由 a≠0,得 2≤f(x) ,… 解得 x 或x …

点评:考查了绝对值的代数意义,去绝对值体现了分类讨论的数学思想;根据函数图象求函 数的最值,体现了数形结合的思想.属中档题. 【版权所有:21 教育】

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