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【步步高】高中数学北师大版必修5练习:3.3.1 基本不等式(含答案解析)

3.1 课时目标 基本不等式 1.理解基本不等式的内容及其证明;2.能利用基本不等式证明简单不等式. 1.如果 a,b∈R,那么 a2+b2____2ab(当且仅当______时取“=”号). a+b 2.若 a,b 都为____数,那么 ____ ab(当且仅当 a____b 时,等号成立),称上述不 2 等式为______不等式,其中________称为 a,b 的算术平均数,______称为 a,b 的几何 平均数. 3.基本不等式的常用推论 (1)ab≤? a+b?2 a2+b2 ? 2 ? ≤ 2 (a,b∈R); 1 1 (2)当 x>0 时,x+ ≥____;当 x<0 时,x+ ≤______. x x b a b a (3)当 ab>0 时, + ≥____;当 ab<0 时, + ≤____. a b a b (4)a2+b2+c2____ab+bc+ca,(a,b,c∈R). 一、选择题 a+b 1.已知 a>0,b>0,则 , ab, 2 a+b A. 2 C. a2+b2 2 a2+b2 2ab , 中最小的是( 2 a+b B. ab 2ab D. a+b ) ) 1? 2 1 2.已知 m=a+ (a>2),n=? ?2?x -2 (x<0),则 m、n 之间的大小关系是( a-2 A.m>n B.m<n C.m=n ) a2+b2 B.ab<1< 2 D. a2+b2 <ab<1 2 D.m≤n 3.设 a,b∈R,且 a≠b,a+b=2,则必有( a2+b2 A.1≤ab≤ 2 a2+b2 C.ab< <1 2 4.已知正数 0<a<1,0<b<1,且 a≠b,则 a+b,2 ab,2ab,a2+b2,其中最大的一个是 ( ) B.2 ab C.2ab D.a+b A.a2+b2 5.设 0<a<b,且 a+b=1,在下列四个数中最大的是( 1 A. 2 C.2ab B.b ) D .a2+b2 ) D.-3 6.若不等式 x2+ax+1≥0 对一切 x∈(0,1]恒成立,则 a 的最小值为( A.0 二、填空题 1 7.若 a<1,则 a+ 有最______值,为________. a-1 2 5 8.若 lg x+lg y=1,则 + 的最小值为________. x y x y + 9.已知 x,y∈R ,且满足 + =1,则 xy 的最大值为________. 3 4 x 10.若对任意 x>0, 2 ≤a 恒成立,则 a 的取值范围为________. x +3x+1 B.-2 C.- 5 2 三、解答题 bc ca ab 11.设 a、b、c 都是正数,求证: + + ≥a+b+c. a b c 1 1 n 12.a>b>c,n∈N 且 + ≥ ,求 n 的最大值. a-b b-c a-c 能力提升 1 a? 13. 已知不等式(x+y)? y 恒成立, 则正实数 a 的最小值为( ?x+y?≥9 对任意正实数 x, A.8 B.6 C.4 D.2 ) 14.已知 a,b,c 为不等正实数,且 abc=1. 1 1 1 求证: a+ b+ c< + + . a b c 1.设 a,b 是两个正实数,用 min(a,b)表示 a,b 中的较小的数,用 max(a,b)表示 a, a+b 2 b 中的较大的数,则有 min(a,b)≤ ≤ ab≤ ≤ 1 1 2 + a b 当 a=b 时,取到等号. a+b 2.两个不等式 a2+b2≥2ab 与 ≥ ab都是带有等号的不等式, 对于 “当且仅当…时, 2 取‘=’号”这句话的含义要有正确的理解. a+b 一方面:当 a=b 时, = ab; 2 a+b 另一方面:当 = ab时,也有 a=b. 2 a2+b2 ≤max(a,b).当且仅 2 §3 3.1 基本不等式 基本不等式 答案 知识梳理 1.≥ a=b 2.正 ≥ = 作业设计 1.D [方法一 特殊值法. a2+b2 2ab 8 2ab = 10, = .∴ 最小. 2 a+b 3 a+b a2+b2 2ab ,可知 最小.] 2 a+b 基本 a+b 2 ab 3.(2)2 -2 (3)2 -2 (4)≥ a+b 令 a=4,b=2,则 =3, ab= 8, 2 方法二 a+b 2ab 2 2 = ,由 ≤ ab≤ ≤ 1 1 2 a+b 1 1 + + a b a b 1 [∵m=(a-2)+ +2≥2 a-2 2.A 1 (a-2) +2=4,n=22-x2<22=4.∴m>n.] a-2 a2+b2 a+b > >0, 2 2 a+b?2 3.B [∵ab≤? ? 2 ? ,a≠b,∴ab<1,又∵ ∴ a2+b2 a2+b2 >1,∴ab<1< .] 2 2 4.D [因为 a、b∈(0,1),a≠b,所以 a+b>2 ab,a2+b2>2ab,所以,最大的只能是 a2+b2 与 a+b 之一.而 a2+b2-(a+b)=a(a-1)+b(b-1),又 0<a<1,0<b<1,所以 a- 1<0,b-1<0,因此 a2+b2<a+b,所以 a+b 最大.] 5.B [∵ab<? ∵ a+b?2 1 1 ? 2 ? ,∴ab<4,∴2ab<2. a2+b2 1 > , 2 2 a2+b2 a+b > >0,∴ 2 2 1 ∴a2+b2> . 2 ∵b-(a2+b2)=(b-b2)-a2=b(1-b)-a2=ab-a2=a(b-a)>0,∴b>a2+b2,∴b 最大.] ? 1?? 6.B [x2+ax+1≥0 在 x∈(0,1]上恒成立?ax≥-x2-1?a≥? ?-?x+x??max. 1? 1 ∵x+ ≥2,∴-? ?x+x?≤-2,∴a≥-2.] x 7.大 -1 解析 ∵a<1,∴a-1<0, 1 1 ∴-?a-1+a-1?=(1-a)+ ≥2(a=0 时取等号),

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