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高中数学北师大版必修五课件:3.2.2.1-一元二次不等式的解法ppt讲练课件_图文

第三章 不等式 §2 2. 1 一元二次不等式 一元二次不等式的解法 1.一元二次不等式的有关概念 (1)一元二次不等式 2 形如 ax +bx+c>0( 0) 或 ax2+bx+c<0( 0) (其中 a≠0)的 不等式叫作一元二次不等式. (2)一元二次不等式的解 一般地,使某个一元二次不等式成立的 x的值 叫这个一元二次 不等式的解. (3)一元二次不等式的解集 一元二次不等式的 等式的解集. 所有解 组成的集合,叫作一元二次不 2.一元二次不等式与相应函数、方程的关系 设 f(x)=ax2+bx+c(a>0),判别式 Δ=b2-4ac 判别式 方程 f(x) =0 的解 函数 y= f(x)的图 像 Δ>0 有两个不相等的 实数根 x1,x2(x1 < x2 ) Δ=0 有两个相等的实 数根 x1=x2 且 x1 b =x2=- 2a 无实数根 Δ<0 设 f(x)=ax2+bx+c(a>0),判别式 Δ=b2-4ac b {x|x≠- } 2a 不等 式的 解集 f(x)>0 {x|x>x2或x<x1} R f ( x) < 0 {x|x1<x<x2} ? ______ ? _____ 判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)mx2-5x<0 是一元二次不等式.( × ) (2)若 a>0,则一元二次不等式 ax2+1>0 无解.( × ) (3)若一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两根为 x1,x2(x1<x2),则 一元二次不等式 ax2+bx+c<0 的解集为{x|x1<x<x2}.( × ) (4)不等式 x2-2x+3>0 的解集为 R.( √ ) 下列不等式中是一元二次不等式的是( A.a x +2≥0 C.-x2+x-m≤0 2 2 ) 1 B. 2<3 x D.x3-2x+1>0 答案:C 若不等式 ax2+8ax+21<0 的解集是{x|-7<x<-1},那么实 数 a 的值是( A.1 C.3 ) B.2 D.4 答案:C 不等式-6x2-x+2≥0 的解集是________. 解析:原不等式等价于 6x2+x-2≤0,6x2+x-2=0 的两根为 2 1 2 1 2 x1=- ,x2= ,所以 6x +x-2≤0 的解集为{x|- ≤x≤ }. 3 2 3 2 2 1 答案:{x|- ≤x≤ } 3 2 1.解一元二次不等式的常见方法 (1)图像法:由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关 系,可以得到解一元二次不等式的一般步骤: ①化不等式为标准形式:ax2+bx+c>(≥)0(a>0),或 ax2+bx +c<(≤)0(a>0); ②求方程 ax2+bx+c=0(a>0)的根,并画出对应函数 y=ax2+ bx+c 图像的简图; ③由图像得出不等式的解集. (2)代数法:将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求 解. 当 m<n 时, 若(x-m)(x-n)>0, 则可得 x>n 或 x<m; 若(x-m)(x -n)<0,则可得 m<x<n. 有口诀如下:大于取两边,小于取中间. 2.解含参数的一元二次型的不等式易误点 (1)若二次项系数含参数,易忽视二次项系数为 0 的情况. (2)对参数进行分类讨论,易出现重复、遗漏现象. (3)关于不等式对应的方程根的讨论:二根(Δ>0),一根(Δ=0), 无根(Δ<0). 解不含参数的一元二次不等式 解下列不等式: (1)2x2+5x-3<0; (2)-3x2+6x≤2; (3)4x2-4x+1>0; (4)-x2+6x-10>0. 【解】 (1)Δ=49>0, 方程 2x2+5x-3=0 的两根为 x1=-3, 1 x2= ,作出函数 y=2x2+5x-3 的图像,如图所示,用阴影部 2 分描出原不等式的解,由图可得原不等式的解集为 ? ? 1? ?x?-3<x< ?. 2? ? ? (2)原不等式等价于 3x2-6x+2≥0.Δ=12>0,解方程 3x2-6x 3- 3 3+ 3 +2=0,得 x1= ,x2= ,作出函数 y=3x2-6x+2 3 3 的图像,如图所示, 由图可得原不等式的解集为 ? ? ? 3- ?x?x≤ ? ? 3 ? ? 3 3+ 3 ? ? ?. 或x≥ 3 ? ? (3)因为 Δ=0,所以方程 4x2-4x+1=0 有两个相等的实根 x1 1 =x2= .作出函数 y=4x2-4x+1 的图像如图所示. 2 由图可得原不等式的解集为 ? ? ? 1 ?x?x≠ ,x∈R?. 2 ? ? ? (4)原不等式可化为 x2-6x+10<0,因为 Δ=-4<0, 所以方程 x2-6x+10=0 无实根,所以原不等式的解集为?. 解一元二次不等式的一般步骤 (1)通过对不等式变形,使二次项系数大于零. (2)计算对应方程的判别式. (3)求出相应的一元二次方程的根,或根据判别式说明方程有没 有实根. (4)根据函数图像与 x 轴的相关位置写出不等式的解集. 1.(1)不等式(x+1)(2-x)≤0 的解集为( A.[-2,1] B.[-1,2] C.(-∞,-1]∪[2,+∞) D.(-∞,-2]∪[1,+∞) (2)解不等式:-2<x2-3x≤10. ) 解:(1)选 C.由(x+1)(2-x)≤0, 得(x+1)(x-2)≥0, 方程(x+1)(x-2)=0 的解为 x1=-1,x2=2, 函数 y=(x+1)(x-2)的图像是开口向上的抛物线,与 x 轴的交 点为(-1,0)和(2,0). 观察图像可得,不等式的解集为{x|x≤-1 或 x≥2}.故选 C. (2)原不等式等价于不等式组 2 ? x ? -3x>-2①, ? 2 ? ?x -3x≤10②, 不等式①可化为 x2-3x+2>0,解得 x>2 或 x<1. 不等式②可化为 x2-3x-10≤0,

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