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2011年陕西高考数学理科试卷(带详解)


2011 年普通高等学校招生全国统一考试陕西卷(理科)
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的(本大题共 10 小题, 每小题 5 分,共 50 分) . 1.设 a , b 是向量,命题“若 a ? ?b ,则 a ? b ”的逆命题是 A.若 a ? ?b ,则 a ? b C.若 a ? b ,则 a ? ?b 【测量目标】四种命题之间的关系. 【考查方式】确定原命题的条件和结论,交换条件和结论的位置即可得到逆命题. 【难易程度】容易 【参考答案】D 【试题解析】原命题的条件: a ? ?b ,作为逆命题的结论, (步骤 1) 原命题的结论: a ? b ,作为逆命题的条件, (步骤 2) 即得逆命题“若, a ? b 则” a ? ?b ,故选 D. (步骤 3) 2.设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x ? ?2 ,则抛物线的方程是 A. y 2 ? ?8 x B. y 2 ? 8x C. y 2 ? ?4x ( ) B.若 a ? ?b ,则 a ? b D.若 a ? b ,则 a ? ?b ( )

D. y 2 ? 4 x

【测量目标】抛物线的标准方程. 【考查方式】已知抛物线的准线方程和顶点求抛物线的标准方程. 【难易程度】容易 【参考答案】B 【试题解析】由准线方程: x ? ?2 ? ?

p ? ?2 , 2

且抛物线的开口向右(或焦点在 x 轴的正半轴) ,? y 2 ? 2 px ? 8x . 3.设函数 f ( x ) ( x ?R)满足 f (? x) ? f ( x) , f ( x ? 2) ? f ( x) ,则函数 y ? f ( x) 的图象 是 ( )

A

B

C 【测量目标】函数图象的判断. 【考查方式】确定函数 y ? f ( x) 的性质,再对选项一一求解. 【难易程度】容易 【参考答案】B 【试题解析】? f (? x) ? f ( x) 得 y ? f ( x) 是偶函数,

D

所以函数 y ? f ( x) 的图象关于 y 轴对称,可知 B,D 符合; (步骤 1)

? f ( x ? 2) ? f ( x) ? y ? f ( x) 是周期为 2 的周期函数, (步骤 2)
选项 D 的图象:最小正周期是 4,不符合; 选项 B 的图象:最小正周期是 2,符合,故选 B. (步骤 3) 4. (4x ? 2? x )6 ( x ?R)展开式中的常数项是 A. ?20 【测量目标】二项式定理. 【考查方式】由二项展开式的通项公式直接求出结果. 【难易程度】中等 【参考答案】C
r r r 【试题解析】?Tr ?1 ? C6 (4 x ) 6?r ( ?2 ? x ) r ? C 6 ? 2 2 x(6 ?r) ? ( ?2) ? xr ? C 6 ? 212 x?3 xr ? ( ?1)
4 令 12 x ? 3xr ? 0 ,则 r ? 4 ,? (?1)4?( ? x ) ? 1 ?T5 ? C6 ? 1 ? 15 ,故选 C.
? xr

( C.15 D.20



B. ?15



5. 某几何体的三视图如图所示, 则它的体积是





第 5 题图 A. 8 ?

2π 3

B. 8 ?

π 3

C. 8 ? 2 π

D.

2π 3

【测量目标】由三视图求几何体的体积. 【考查方式】由三视图想象出空间几何体,利用关几何体体积公式进行计算.

【参考答案】A 【难易程度】中等 【试题解析】 由几何体的三视图可知几何体为一个组合体, 即一个正方体中间去掉一个圆锥 体,所以它的体积是: V ? 2 ? ? π ? 1 ? 2 ? 8 ?
3 2

1 3

2π . 3

第 5 题图 6. 函数 f ( x) ? A.没有零点 C.有且仅有两个零点 【测量目标】函数零点的求解和判断. 【考查方式】利用数形结合法进行直观判断. 【难易程度】中等 【参考答案】B 【试题解析】方法一:令 f ( x) ? 设函数 y ?

x ? cos x 在 [0, ??) 内
B.有且仅有一个零点 D.有无穷多个零点





x ? cos x ? 0 ,? x ? cos x ,

x 和 y ? cos x ,它们在 [0, ??) 的图象如图所示,由图象可知,两函数的图象
x ? cos x 在 [0, ??) 内有且仅有一个零点;

的交点有且只有一个,所以函数 f ( x) ?

第 6 题图 (方法二)在 x ? [ , ??) 上, x ? 1 , ?1 剟cos x 1)在 x ? (0, ] , f ?( x) ?

π 2

1 ,? f ( x) ? x ? cos x ? 0 ; (步骤

π 2

1 2 x

? sin x ? 0 ,? f ( x) ? x ? cos x 是增函数, (步骤 2)

又? f (0) ? ?1 , f ( ) ?

π 2

π ? 0, 2

π (步骤 3) ? f ( x) ? x ? cos x 在 x ? [0, ] 上有且只有一个零点. 2
7.设集合 M ? { y | y ?| cos2 x ? sin 2 x |, x ? R} , N ? ? x x ?

? ?

? 1 ? 2 ? , i 为虚数单位, i ?
( )

x ?R } ,则 M ? N 为
A.(0,1) B. (0 , 1] C. [0 , 1)

D. [0 , 1]

【测量目标】集合的基本运算、同角三角函数的基本关系、二倍角公式. 【考查方式】运用二倍角公式直接求解此题. 【难易程度】中等 【参考答案】C 【试题解析】 y ?| cos2 x ? sin 2 x |?| cos2x |?[0,1] ,? M ? [0,1] ; (步骤 1)

1 ?| x ? |? 2 ,? (步骤 2)又? x ?R, ?1 ? x ? 1 ,即 | x ? i |? 2 ,即 | x ? (?i) |? 2 , i

N ? (?1,1) ;? M ? N ? [0,1) ,故选 C.(步骤 3)
8.右图中, x1 , x2 , x3 为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分, p 为该题的最终 得分,当 x1 ? 6 , x2 ? 9 , p ? 8.5 时, x3 等于 ( )

第 8 题图 A.11 B.10 C.8 D.7

【测量目标】选择结构的程序框图. 【考查方式】按照程序框图的执行流程分析循环过程,得到输出结果. 【难易程度】中等 【参考答案】C

【试题解析】 x1 ? 6 , x2 ? 9 , | x1 ? x2 |? 3 ? 2 不成立,再输入 x3 ; (步骤 1) 点 x3 到点 x1 的距离小于点 x3 到 x2 的距离,? 当 x3 ? 7.5 时, | x3 ? x1 |?| x3 ? x2 | 成立, (步 骤 2)此时 x2 ? x3 , ? p ?

x1 ? x3 6 ? x3 ? 8.5 ,解得 x3 ? 11 ? 7.5 ,不合题意; ,? (步 2 2 x3 ? x2 , 2

骤 3 ) 当 x3 …7.5 时 , | x3 ? x1 |? | x3 ? x2 不 | 成 立 , 此 时 x1 ? x3 , ? p ?

?

x3 ? 9 ? 8.5 ,解得 x3 ? 8 ? 7.5 ,故选 C. (步骤 4) 2

9.设 ( x1, y1),( x2 , y2 ) ,…, ( xn , yn ) 是变量 x 和 y 的 n 个样本点,直线 l 是由这些样本点通 过最小二乘法得到的线性回归方程(如图) ,以下结论中正确的是 A. x 和 y 的相关系数为直线 l 的斜率 ( )

B. x 和 y 的相关系数在 0 到 1 之间 D.直线 l 过点 ( x, y )

C.当 n 为偶数时,分布在 l 两侧的样本点的个数一定相同

第 9 题图 【测量目标】线性回归方程. 【考查方式】由线性回归方程直接求出答案. 【难易程度】中等 【参考答案】D 【试题解析】 选项 A 具体分析 相关系数用来衡量两个变量之间的相关程度, 直线的斜率表示直线的倾斜 程度;它们的计算公式也不相同 相关系数的值有正有负,还可以是 0;当相关系数在 0 到 1 之间时,两个 变量为正相关,在 ?1 到 0 之间时,两个变量负相关 结论 不正确

B C D

不正确 不正确

l 两侧的样本点的个数分布与 n 的奇偶性无关,也不一定是平均分布
回 归 直 线 l 一 定 过 样 本 点 中 心 ( x, y ) ; 由 回 归 直 线 方 程 的 计 算 公 式

? ? y ? bx ? 可知直线 l 必过点 ( x, y ) a

正确

10.甲乙两人一起去游“2011 西安世园会”,他们约定,各自独立地从 1 到 6 号景点中任选 4

个进行游览,每个景点参观 1 小时,则最后一小时他们同在一个景点的概率是 A.



).

1 36

B.

1 9

C.

5 36

D.

1 6

【测量目标】随机事件与概率. 【考查方式】将问题简化为两人所选的游览景点路线的排列问题. 【难易程度】中等 【参考答案】D
4 4 【试题解析】甲乙两人各自独立任选 4 个景点的情形共有: A6 , ? A6 ? (6 ? 5 ? 4 ? 3)2 (种) 2 (步骤 1)最后一小时他们同在一个景点的情形有: A3 , (步 A3 5? 5 ? 6 ? (5 ? 4 ? 3) ? 6 (种)

骤 2)? P ?

A3 A3 (3 ? 5 ? 4)2 ? 6 1 5? 5 ?6 (步骤 3) ? ? . 4 4 A6 ?A6 (6 ? 5 ? 4 ? 3)2 6

二、填空题:把答案填在答题卡相应题号后的横线上(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分).

lg x, x ? 0 ? ? 11.设 f ( x) ? ? ,若 f ( f (1)) ? 1 ,则 a ? a x ? ? 3t 2 dt , x ? 0 ? 0 ?
【测量目标】分段函数,定积分的几何意义. 【考查方式】由给出函数值,代入分段函数,求出参数. 【难易程度】中等 【参考答案】 1



【试题解析】? x ? 1 ? 0 ,? f (1) ? lg1 ? 0 , (步骤 1)又? f ( x) ? x ?
3 (步骤 2)? f (0) ? a3 ,? a ? 1 , a ? 1 . (步骤 3)

?

a

0

3t 2 dt ? x ? a3 ,

12.设 n ? N? ,一元二次方程 x ? 4 x ? n ? 0 有整数 根的充要条件是 n ? ..
2



【测量目标】解含参的一元二次不等式. 【考查方式】利用求根公式进行计算,进而用完全平方数、整除等进行判断计算. 【难易程度】中等 【参考答案】3 或 4 【试题解析】由求根公式得: x ?

?b ? b2 ? 4ac 4 ? 16 ? 4n (步骤 1) ? 2? 4?n , ? 2a 2

(步骤 2) ? x 是整数,? x ? 2 ? 4 ? n 为整数,? 4 ? n 为整数,且 n ? 4 , 又? n ? N? ,取 n ? 1,2,3,4 ,验证可知 n ? 3, 4 符合题意, 反之 n ? 3 或 4 时,可推出一元二次方程 x ? 4 x ? n ? 0 有整数 根. (步骤 3) ..
2

13.观察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49


照此规律,第 n 个等式为 【测量目标】合情推理. 【考查方式】由等号左边式子的变化规律,进行归纳总结. 【难易程度】中等 【参考答案】 n ? (n ? 1) ? …? (3n ? 2) ? (2n ?1)2 . 行数 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 1 2 3 4 等号左边的项数 1 3 5 7 .


(步骤 1) ?n ? (n ? 1) ? …? [n ? (2n ?1) ?1] ? (2n ?1)2 ,





? n ? (n ? 1) ? …? (3n ? 2) ? (2n ?1)2 (步骤 2)
14. 植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树, 每人植一棵, 相邻两棵树相距 10 米. 开 始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边, 使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走 的路程总和最小,这个最小值为 【测量目标】二次函数的模型. 【考查方式】把实际问题转化为数学模型,列式转化为函数的最值问题. 【难易程度】较难 【参考答案】2000 【试题解析】方法一:设树苗放在第 i 个树坑旁边(如图) , (米) .

1

2



i



19

20

那么各个树坑到第 i 个树坑距离的和是:

S ? (i ? 1) ?10 ? (i ? 2) ?10 ? … ? (i ? i) ?10 ? [(i ? 1) ? i] ?10 ? …? (20 ? i) ?10
? 10 ? [i ? i ? i (i ? 1) (20 ? i)(i ? 1 ? 20) ? i ? (20 ? i ) ? ] ? 10(i 2 ? 21i ? 210) , (步骤 1) 2 2

? 当 i ? 10 或 11 时, S 的值最小, Smin ? 1000 ,所以往返路程的最小值是 2000 米.(步骤

2)方法二:根据图形的对称性,树苗放在两端的树坑旁边,所得路程总和相同,取得一个 最值;所以从两端的树坑向中间移动时,所得路程总和的变化相同,最后移到第 10 个和第 11 个树坑旁时,所得的路程总和达到另一个最值,所以计算两个路程和即可.树苗放在第一 个树坑旁,则有路程总和是 10 ? (1 ? 2 ? … ? 19) ? 2 ? 10 ? 在第 10 个(或第 11 个)树坑旁边时,路程总和是

19(1 ? 19) ? 2 ? 3800 米;树苗放 2

10 ? (1 ? 2 ? … ? 9) ? 10 ? (1 ? 2 ? … ? 10) ? 2
? 10 ? 9 ? (1 ? 9) 10 ? (1 ? 10) ? 2 ? 10 ? ? 2 ? 900 ? 1100 ? 2000 米,所以路程总和最小为 2 2

2000 米. 15. (考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分)

| x ? 1| ? | x ? 2 | 存在实数解,则实数 a 的取值 A. (不等式选做题)若关于 x 的不等式 | a |…
范围是 .

【测量目标】解绝对值不等式. 【考查方式】先确定 | x ? 1| ? | x ? 2 | 的取值范围,进而求解参数 a . 【难易程度】中等 【参考答案】 (??, ?3] ? [3, ??) . 【试题解析】当 x ? ?1 时, | x ? 1| ? | x ? 2 |? ? x ? 1 ? x ? 2 ? ?2 x ? 1 …3 ; (步骤 1) 当 ?1 ? x ? 2 时, | x ? 1| ? | x ? 2 |? x ? 1 ? x ? 2 ? 3 ; (步骤 2) 当 x ? 2 时, | x ? 1| ? | x ? 2 |? x ? 1 ? x ? 2 ? 2 x ? 1 ? 3 ; (步骤 3) 综上可得 | x ? 1| ? | x ? 2 |…3 ,所以只要 | a |…3 ,解得 a ? ?3 或 a …3 , 即实数 a 的取值范围是 (??, ?3] ? [3, ??) . (步骤 4)
? B. (几何证明选做题) 如图,?B ? ?D ,AE ? BC ,?ACD ? 90 , 且 AB ? 6 ,AC ? 4 ,

AD=12,则 BE =



第 15 题 B 图 【测量目标】几何证明选讲. 【考查方式】由相似三角形对应边成比例即可算出答案. 【难易程度】中等 【参考答案】 4 2

? 【试题解析】? AE ? BC ,??AEB ? ?ACD ? 90 ,又? ?B ? ?D ,

?△ AEB ∽ △ACD ,?
在 Rt△AEB 中, BE ?

AC AD AB?AC 6 ? 4 ? ? ? 2, ,(步骤 1)? AE ? (步骤 2) AE AB AD 12
(步骤 3) AB2 ? AE 2 ? 62 ? 22 ? 4 2 .

C. (坐标系与参数方程选做题)直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极 轴建立极坐标系,设点 A,B 分别在曲线 C1 :? 上,则 | AB | 的最小值为 【测量目标】坐标系与参数方程. 【考查方式】把曲线转化为直角坐标系下的方程,由两曲线位置关系. 【难易程度】中等 【参考答案】3 【试题解析】曲线 C1 : ? .

? x ? 3 ? cos? ( ? 为参数)和曲线 C2 : ? ? 1 ? y ? 4 ? sin ?

? x ? 3 ? cos? (步骤 1) ? ( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 1 , ? y ? 4 ? sin ?

2 2 曲线 C2 : ? ? 1 , ? x2 ? y 2 ? 1 , (步骤 2)圆心距: ( 3 ? 0) ? (4 ? 0) =5 ? 1 ?1 ? 2 ,

(步骤 4) ? 两圆外离.(步骤 3)? | AB | 的最小值为 32 ? 42 ?1?1 ? 3 . 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共 6 小题,共 75 分) 16. (本小题满分 12 分)如图,在 △ABC 中,∠ ABC = 60 ,∠BAC ? 90 ,AD 是 BC 上
?

?

的高,沿 AD 把 △ABD 折起,使 ?BDC ? 90 .
?

第 16 题图 (1)证明:平面 ADB ⊥平面 BDC ; (2)设 E 为 BC 的中点,求 AE 与 DB 夹角的余弦值. 【测量目标】面面垂直的判定,平面图形的折叠问题,空间直角坐标系,向量的坐标运算. 【考查方式】利用面面垂直直接判定即可,建立空间直角坐标系,运用向量的坐标运算求解 余弦值. 【难易程度】较难 【试题解析】 (1)∵折起前 AD 是 BC 边上的高,∴当△ABD 折起后,AD⊥DC,AD⊥DB, (步骤 1) 又 DB ? DC ? D , ∴AD⊥平面 BDC, (步骤 2) ∵AD ? 平面 ABD, ∴平面 ABD⊥

??? ?

??? ?

平面 BDC. (步骤 3)

第 16 题(1)图 (2)由∠BDC ? 90 及(1)知 DA,DB,DC 两两垂直,不妨设|DB|=1,以 D 为坐标原点,
?

以 DB , DC , DA 所在直线为 x, y , z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,易得: D(0,0,0),B(1,0,0),C(0,3,0),A(0,0, 3 ),E(

??? ?

????

??? ?

1 3 , ,0), (步骤 4) 2 2

??? ? 1 3 ??? ? ? AE ? ( , , ? 3) , DB ? (1,0,0) , (步骤 5) 2 2

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AE ?DB ∴ cos ? AE, DB ?? ??? ? ??? ? ? AE ?DB

1 2 1? 22 4

?

22 22

??? ? ??? ? 22 ? AE 与 DB 夹角的余弦值是 . (步骤 6) 22

第 16 题(2)图 17. (本小题满分 12 分)如图,设 P 是圆 x ? y ? 25 上的动点,点 D 是 P 在 x 轴上投影,
2 2

M为 PD 上一点,且 | MD |?

4 | PD | . 5

第 17 题图 (1)当 P 在圆上运动时,求点 M 的轨迹 C 的方程;

(2)求过点(3,0)且斜率为

4 的直线被 C 所截线段的长度. 5

【测量目标】圆锥曲线中的轨迹问题,直线与椭圆的位置关系,点到直线的距离公式. 【考查方式】利用点到直线的距离公式和直线方程与椭圆方程联立求解. 【难易程度】较难 【试题解析】 (1)设点 M 的坐标是 ( x, y ) ,P 的坐标是 ( x p , y p ) , 因为点 D 是 P 在 x 轴上投影,

M为 PD 上一点,且 | MD |?
2 2

4 5 | PD | ,所以 x p ? x ,且 y p ? y ,(步骤 1) 5 4
2

5 2 x2 y 2 ? ?1, ∵P 在圆 x ? y ? 25 上,∴ x ? ( y ) ? 25 ,整理得 4 25 16

x2 y 2 ? ?1. 即 C 的方程是 (步骤 2) 25 16
(2)过点(3,0)且斜率为

4 4 的直线方程是 y ? ( x ? 3) , (步骤 3) 5 5 4 ( x ? 3) 代入 C 的方程 5

设此直线与 C 的交点为 A( x1, y1 ) , B( x2 , y2 ) ,将直线方程 y ?

x2 y 2 x 2 ( x ? 3)2 3 ? 41 ? ?1 得 : ? ? 1 , 化 简 得 x 2 ? 3x ? 8? 0, ∴ x1 ? , 25 16 25 25 2

x2 ?

3 ? 41 , (步骤 4)所以线段 AB 的长度是: 2

| AB |? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? (1 ?
即所截线段的长度是

16 41 41 )( x1 ? x2 )2 ? ? 41 ? , 25 25 5

41 . (步骤 5) 5

18. (本小题满分 12 分)叙述并证明余弦定理. 【测量目标】余弦定理. 【考查方式】利用公式、定理、性质进行推导. 【难易程度】中等 【试题解析】 余弦定理: 三角形任何一边的平方等于其他两遍平方的和减去这两边与它们夹 角的余弦之积的两倍.或:在△ABC 中,a,b,c 为 A,B,C 的对边,有:

a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A , b2 ? c2 ? a2 ? 2ca cos B , c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C . ???? ??? ? ???? ??? ? ??? ? 2 2 证明:证法一: 如图①, a ? BC ? AC ? AB ? AC ? AB

? ? ?

??

?

???? ??? ? ??? ?2 ??? ? 2 ??? ? ??? ? ??? ? 2 ???? 2 ? AC ? 2 AC?AB ? AB ? AC ? 2 AC ? AB cos A ? AB
? b2 ? 2bc cos A ? c2 ,(步骤 1)
即: a ? b ? c ? 2bc cos A 同理可证: b ? c ? a ? 2ca cos B ,c ? a ? b ? 2ab cos C
2 2 2 2 2 2 2 2 2

(步骤 2)

第 18 题①图 证法二: 如图②已知 △ABC 中, A, B, C 所对边分别为 a, b, c, ,以 A 为原点, AB 所在直 线为 x 轴建立直角坐标系,则 C (b cos A, b sin A), B(c,0) , ∴ a2 ?| BC |2 ? (b cos A ? c)2 ? (b sin A)2 ? b2 cos2 A ? 2bc cos A ? c2 ? b2 sin 2 A

? b2 ? c2 ? 2bc cos A , (步骤 1)
即 a ? b ? c ? 2bc cos A 同理可证: b ? c ? a ? 2ca cos B , c ? a ? b ? 2ab cos C .
2 2 2 2 2 2 2 2 2

(步骤 2)

第 18 题②图 19. (本小题满分 12 分)如图,从点 P1(0,0)作 x 轴的垂线交曲线 y ? e 于点 Q1 (0,1) ,
x

曲线在 Q1 点处的切线与 x 轴交于点 P 2 .再从 P 2 做 x 轴的垂线交曲线于点 Q2 ,依次重复上 述过程得到一系列点: P 2 , Q2 ; … ; P n , Qn , 记 P 1 , Q1 ; P k 点 的 坐 标 为 ( xk ,0) ( k ? 0,1, 2,…, n ) . (1)试求 xk 与 xk ?1 的关系( 2 剟k

n) ;

(2)求 | PQ ? | PnQn | . 1 1 | ?| P 2Q 2 | ? | PQ 3 3 | ?…

第 19 题图 【测量目标】导数的几何意义,数列的通项.

【考查方式】根据函数的导数求切线方程. 【难易程度】中等 【试题解析】 (1)设点 Pk ?1 的坐标是 ( xk ?1,0) ,∵ y ? e x ,∴ y? ? e x ,∴ Qk ?1 ( xk ?1 ,e (步骤 1)在点 Qk ?1 ( xk ?1 ,e
xk ?1
xk ?1

),

) 处的切线方程是: y ? exk?1 ? exk?1 ( x ? xk ?1 ) ,
n) . (步骤 2)

令 y ? 0 ,则 xk ? xk ?1 ?1 ( 2 剟k

(2)∵ x1 ? 0 , xk ? xk ?1 ? ?1 ,∴ xk ? ?(k ? 1) , ∴| P k Qk |? e
xk

(步骤 3)于是有: ? e?( k ?1) ,
?1 ?2 ? ( k ?1)

| PQ ? | PnQn | ? 1 ? e ? e ? … ? e 1 1 |?| P 2Q2 | ? | PQ 3 3 | ?…

1 ? e? n e ? e1?n ? ? , 1 ? e?1 e ?1

e ? e1?n 即 | PQ . (步骤 4) ? | PnQn | ? 1 1 |?| P 2Q2 | ? | PQ 3 3 | ?… e ?1
20. (本小题满分 13 分)如图,A 地到火车站共有两条路径 L1 和 L2 ,据统计,通过两条路 径所用的时间互不影响,所用时间落在个时间段内的频率如下表: 时间(分钟) 10 ~ 20 20 ~ 30 30 ~ 40 40 ~ 50 50 ~ 60

L1 的频率 L2 的频率

0.1
0

0.2
0.1

0.3
0.4

0.2
0.4

0.2
0.1

现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站. (1)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站,甲和乙应如何选择各自的路径? (2)用 X 表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数,针对(1)的选择方案, 求 X 的分布列和数学期望 .

第 20 题图 【测量目标】离散型随机事件的分布列,互斥事件与对立事件. 【考查方式】运用对立事件、相互独立事件的概率公式进行计算,列出分布列后即可计算数 学期望. 【难易程度】较难 【试题解析】 (1) Ai 表示事件“甲选择路径 L i 时,40 分钟内赶到火车站”, Bi 表示事件“甲 选择路径 L i 时,50 分钟内赶到火车站”, i ? 1 , 2 . 用频率估计相应的概率,则有: P( A 1 ) ? 0.1 ? 0.2 ? 0.3 ? 0.6 , P( A 2 ) ? 0.1 ? 0.4 ? 0.5 ;

∵ P( A1 ) ? P( A2 ) ,∴甲应选择路径 L 1 ; (步骤 1)

P( B1) ? 0.1 ? 0.2 ? 0.3 ? 0.2 ? 0.8 , P( B2 ) ? 0.1 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.9 ;
∵ P( B2 ) ? P( B1 ) ,∴乙应选择路径 L 2 . (步骤 2) (2) X 的取值是 0,1,2,? P( A) ? P( A 1 ) ? 0.6, P( B) ? P( B2 ) ? 0.9, ∴ P( X ? 0) ? P( AB) ? P( A)P(B) ? 0.4 ? 0.1 ? 0.04 , (步骤 3)

P( X ? 1) ? P( AB ? AB) ? P( A)P(B) ? P( A)P(B) ? 0.4 ? 0.9 ? 0.6 ? 0.1 ? 0.42 (步骤 3) P( X ? 2) ? P( AB) ? P( A) P( B) ? 0.6 ? 0.9 ? 0.54 ,
∴X 的分布列为

X
P

0 0.04

1 0.42

2 0.54

∴ EX ? 0 ? 0.04 ? 1? 0.42 ? 2 ? 0.54 ? 1.5 . (步骤 4) 21. (本小题满分 14 分)设函数 f ( x ) 定义在 (0, ??) 上, f (1) ? 0 ,导函数 f ?( x ) ?

1 , x

g ( x) ? f ( x) ? f ?( x) .
(1)求 g ( x) 的单调区间和最小值; (2)讨论 g ( x) 与 g ( ) 的大小关系; (3)是否存在 x0 ? 0 ,使得 | g ( x ) ? g ( x0 ) |? 范围;若不存在,请说明理由. 【测量目标】利用导数判断函数的单调性(单调区间)与最值并求参数范围. 【考查方式】求出原函数,判断函数单调性,再用假设法讨论参数范围. 【难易程度】较难 【试题解析】 (1)∵ f ?( x ) ?

1 x

1 对任意 x ? 0 成立?若存在,求出 x0 的取值 x

1 ,∴ f ( x) ? ln x ? c ( c 为常数) , (步骤 1) x 1 , (步骤 2) x

又∵ f (1) ? 0 ,? ln1 ? c ? 0 , ? c ? 0 ,∴ f ( x) ? ln x ; g ( x) ? ln x ? ∴ g ?( x ) ?

x ?1 x ?1 ,令 g ?( x) ? 0 ,即 2 ? 0 ,解得 x ? 1 , (步骤 3) 2 x x

当 x ? (0,1) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 是减函数,故区间在 (0,1) 是函数 g ( x) 的单调减区间; 当 x ? (1, ??) 时,g ?( x) ? 0 ,g ( x) 是增函数, 故区间在 (1, ??) 是函数 g ( x) 的单调增区间; 所以 x ? 1 是 g ( x) 的唯一极值点,且为极小值点,从而是最小值点,

(步骤 4) ? g ( x) 的最小值是 g (1) ? 1 . (2)g ( ) ? ? ln x ? x , 设 h( x) ? g ( x) ? g ( ) ? 2ln x ? x ? 骤 5)当 x ? 1 时, h(1) ? 0 ,即 g ( x ) ? g ( ) , (步骤 6) 当 x ? (0,1) ? (1, ??) 时, h?( x) ? 0 , h?(1) ? 0 , (步骤 7) 因此函数 h( x) 在 (0, ??) 内单调递减, 当 0 ? x ? 1 时, h( x) ? h(1) =0,∴ g ( x ) ? g ( ) ; 当 x ? 1 时, h( x) ? h(1) =0,∴ g ( x ) ? g ( ) . (步骤 8) (3)满足条件的 x0 不存在.证明如下: 证法一:假设存在 x0 ? 0 ,使 | g ( x ) ? g ( x0 ) |? 即对任意 x ? 0 有 ln x ? g ( x0 ) ? ln x ? 但对上述的 x0 ,取 x1 ? e
g ( x0 )

1 x

1 x

1 ( x ?1 ) , 则 h?( x) ? ? 2 x x

2

, (步

1 x

1 x

1 x

1 对任意 x ? 0 成立, x
①(步骤 9)

2 x

时,有 ln x1 ? g ( x0 ) ,这与①左边的不等式矛盾,

因此不存在 x0 ? 0 ,使 | g ( x ) ? g ( x0 ) |?

1 对任意 x ? 0 成立. (步骤 10) x 1 对任意 x ? 0 成立, x

证法二 假设存在 x0 ? 0 ,使 | g ( x ) ? g ( x0 ) |? 由(1)知, g ( x) 的最小值是 g (1) ? 1 , 又 g ( x) ? ln x ?

1 ? ln x ,而 x ? 1 时, ln x 的值域为 (0, ??) , x

∴当 x …1 时, g ( x) 的值域为 [1, ??) , (步骤 9) 从而可以取一个值 x1 ? 1 ,使 g ( x1 ) …g ( x0 ) ? 1 ,即 g ( x1 ) ? g ( x0 ) … 1, ∴ | g ( x1 ) ? g ( x0 ) |…1 ?

1 ,这与假设矛盾. x1
1 对任意 x ? 0 成立. (步骤 10) x

∴不存在 x0 ? 0 ,使 | g ( x ) ? g ( x0 ) |?


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