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2013年一模汇编 【03】北京市西城区2013年中考数学一模试题与答案(精排版word版)

北京市西城区 2013 年初三一模试卷


考 生 须 知



2013. 5

1.本试卷共 6 页,共五道大题,25 道小题,满分 120 分。考试时间 120 分钟。 2.在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。 4.在答题卡上,选择题、作图题用 2B 铅笔作答,其他试题用黑色字迹签字笔作答。 5.考试结束,将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。

一、选择题(本题共 32 分,每小题 4 分) 下面各题均有四个选项,其中只有一个是符合题意的. .. 1. ? 3 的相反数是 A. ?

1 3

B.

1 3

C.3

D. ? 3

2.上海原世博园区最大单体建筑“世博轴”被改造成一个综合性商业中心,该项目营业面积约 130 000 平 方米,130 000 用科学记数法表示应为 A.1.3× 5 10 B.1.3× 4 10 C.13× 4 10 D.0.13× 6 10 3.如图,AF 是∠ BAC 的平分线,EF∥ 交 AB 于点 E.若∠ AC 1=25° ,则 ?BAF 的度数为 A.15° C.25° B.50° D.12.5°

4.在一个不透明的盒子中装有 3 个红球、2 个黄球和 1 个绿球,这些球除颜色外,没有任何其他区别,现 从这个盒子中随机摸出一个球,摸到黄球的概率为 A.

1 2

B.

1 3

C.

1 6

D.1

5.若菱形的对角线长分别为 6 和 8,则该菱形的边长为 A.5 年龄(单位:岁) 人数 B.6 C.8 D.10 6.某中学篮球队 12 名队员的年龄情况如下: 14 1 15 4 16 2 17 3 18 2

则该队队员年龄的众数和中位数分别是 A.16,15 的小正方体共有 A.6 个 B.7 个 C.8 个 D.9 个 B.15,15.5 C.15,17 D.15,16

7.由一些大小相同的小正方体搭成的一个几何体的三视图如图所示,则构成这个几何体

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8.如图, 在矩形 ABCD 中, AB=2, BC=4.将矩形 ABCD 绕点 C 沿顺时针方向旋转 90° 得到矩形 FGCE 后, (点 A、B、D 的对应点分别为点 F、G、E).动点 P 从点 B 开始沿 BC-CE 运动到点 E 后停止,动点 Q 从点 E 开始沿 EF-FG 运动到点 G 后停止, 这两点的运动速度均为每秒 1 个单位.若点 P 和点 Q 同时开 始运动,运动时间为 x(秒) ,△APQ 的面积为 y,则能够正确反映 y 与 x 之 间的函数关系的图象大致是

A

B

C

D

二、填空题(本题共 16 分,每小题 4 分) 9.函数 y ? x ? 3 中,自变量 x 的取值范围是 10.分解因式: a ? 8a ? 16a =
3 2

. .

11.如图,在梯形 ABCD 中,AD∥ BC,BD⊥ DC,∠ C=45° . 若 AD=2,BC=8,则 AB 的长为 .

12.在平面直角坐标系 xOy 中,有一只电子青蛙在点 A(1,0)处. 第一次,它从点 A 先向右跳跃 1 个单位,再向上跳跃 1 个单位到达点 A1; 第二次,它从点 A1 先向左跳跃 2 个单位,再向下跳跃 2 个单位到达点 A2; 第三次,它从点 A2 先向右跳跃 3 个单位,再向上跳跃 3 个单位到达点 A3; 第四次,它从点 A3 先向左跳跃 4 个单位,再向下跳跃 4 个单位到达点 A4; ?? 依此规律进行,点 A6 的坐标为 则 n= . ;若点 An 的坐标为(2013,2012),

三、解答题(本题共 30 分,每小题 5 分) 13.计算: 8 ? ( 3 ? 1)0 ? 2 sin 45? ? 3?1 .

?7 ?4( x ? 1) ≤ x ? 8, ? 14.解不等式组 ? 并求它的所有整数解. x?2 x ?5 ? , ? 3 ?

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15.如图,点 C 在线段 AB 上,△DAC 和△DBE 都是等边三角形. (1) 求证:△DAB≌ △DCE; (2) 求证:DA∥ EC.

16.已知

x x 2 ? y 2 2( x ? y)2 = 3 ,求 的值. ? y xy xy ? y 2

17.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,正比例函数错误!未指定书签。 y ? ? 象在 -2 第二象限交于点 A,且点 A 的横坐标为 . (1) 求反比例函数的解析式; (2) 点 B 的坐标为(-3,0),若点 P 在 y 轴上, 且△AOB 的面积与△AOP 的面积相等, 直接写出点 P 的坐标.

k 3 x 与反比例函数 y ? 的图 x 2

18.列方程(组)解应用题: 某工厂原计划生产 2400 台空气净化器,由于天气的影响,空气净化器的需求量呈上升趋势,生 产任务的数量增加了 1200 台.工厂在实际生产中,提高了生产效率,每天比原计划多生产 10 台,实 际完成生产任务的天数是原计划天数的 1.2 倍.求原计划每天生产多少台空气净化器.

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四、解答题(本题共 20 分,每小题 5 分) 19.如图,平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O, AC⊥ AB,AB=2,且 AC︰BD=2︰3. (1) 求 AC 的长; (2) 求△AOD 的面积.

20.如图,在△ABC 中,AB=AC,以 AC 为直径作⊙ 交 BC 于点 D, O 过点 D 作 FE⊥ 于点 E,交 AC 的延长线于点 F. AB (1) 求证:EF 与⊙ 相切; O (2) 若 AE=6,sin∠ CFD=

3 ,求 EB 的长. 5

21.近年来,北京郊区依托丰富的自然和人文资源,大力开发建设以农业观光园为主体的多类型休闲旅游 项目, 京郊旅游业迅速崛起, 农民的收入逐步提高.以下是根据北京市统计局 2013 年 1 月发布的 “北 京市主要经济社会发展指标”的相关数据绘制的统计图表的一部分. 北京市 2009-2012 年农业观光园 经营年收入增长率统计表 年份 年增长率(精确到 1%) 2009 年 2010 年 2011 年 2012 年 22% 24% 12% 北京市 2008-2012 年农业观光园 经营年收入统计图

请根据以上信息解答下列问题: (1) 北京市 2010 年农业观光园经营年收入的年增长率是 ; (结果精确到 1%) (2) 请补全条形统计图并在图中标明相应数据; (结果精确到 0.1) (3) 如果从 2012 年以后,北京市农业观光园经营年收入都按 30%的年增长率增长,请 你估算,若经营年收入要不低于 2008 年的 4 倍,至少要到
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年.(填写年份)
第 4 页(共 14 页)

22.先阅读材料,再解答问题: 小明同学在学习与圆有关的角时了解到:在同圆或等圆中, 同弧(或等弧)所对的圆周角相等.如图,点 A、B、C、D 均 为⊙O 上的点,则有∠ C=∠ D. 小明还发现,若点 E 在⊙O 外,且与点 D 在直线 AB 同侧, 则有∠ D>∠ E. 请你参考小明得出的结论,解答下列问题: (1) 如图 1,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A 的坐标为(0,7),点 B 的坐标为(0,3), 点 C 的坐标为(3,0) . ① 在图 1 中作出△ABC 的外接圆(保留必要的作图痕迹,不写作法) ; ② 若在 x 轴的正半轴上有一点 D,且∠ ACB =∠ ADB,则点 D 的坐标为 ; (2) 如图 2,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A 的坐标为(0,m),点 B 的坐标为(0,n), 其中 m>n>0.点 P 为 x 轴正半轴上的一个动点, APB 达到最大时, 当∠ 直接写出此时点 P 的坐标.

五、解答题(本题共 22 分,第 23 题 7 分,第 24 题 7 分,第 25 题 8 分) 23.已知关于 x 的一元二次方程 2 x2 ? (a ? 4) x ? a ? 0 . (1) 求证:无论 a 为任何实数,此方程总有两个不相等的实数根; (2) 抛物线 C1 : y ? 2x2 ? (a ? 4) x ? a 与 x 轴的一个交点的横坐标为

a ,其中 a ? 0 ,将抛物线 C1 向 2

右平移

1 1 个单位,再向上平移 个单位,得到抛物线 C2 .求抛物 8 4

线 C2 的解析式; (3) 点 A( m ,n )和 B(n ,m)都在(2)中抛物线 C2 上,且 A、 B 两点不重合,求代数式

2m3 ? 2mn ? 2n3 的值.

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24.在 Rt△ABC 中,∠ ACB=90° ABC= ? ,点 P 在△ABC 的内部. ,∠ (1) 如图 1,AB=2AC,PB=3,点 M、N 分别在 AB、BC 边上,则 cos ? =_______, △PMN 周长的最小值为_______; (2) 如图 2,若条件 AB=2AC 不变,而 PA= 2 ,PB= 10 ,PC=1,求△ABC 的面积; (3) 若 PA= m ,PB= n ,PC= k ,且 k ? m cos ? ? n sin ? ,直接写出∠ APB 的度数.

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第 6 页(共 14 页)

25.如图 1,在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l: y ? 物线 y ?

3 x ? m 与 x 轴、 y 轴分别交于点 A 和点 B(0,-1),抛 4

1 2 x ? bx ? c 经过点 B,且与直线 l 的另一个交点为 C(4,n). 2 (1) 求 n 的值和抛物线的解析式;
四边形 DFEG 为矩形(如图 2).若矩形 DFEG 的周长为 p,求 p 与 t 的函数关系式以及 p 的最大 值;

(2) 点 D 在抛物线上,且点 D 的横坐标为 t(0< t <4) .DE∥ 轴交直线 l 于点 E,点 F 在直线 l 上,且 y

(3) M 是平面内一点,将△AOB 绕点 M 沿逆时针方向旋转 90° 后,得到△A1O1B1,点 A、O、B 的对应 点分别是点 A1、O1、B1.若△A1O1B1 的两个顶点恰好落在抛物线上,请直接写出点 A1 的横坐标. ...

图1

图2

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北京市西城区 2013 年初三一模试卷

数学答案及评分参考
一、选择题(本题共 32 分,每小题 4 分) 题号 答案 1 C 2 A 3 C 4 B 5 A 6 D

2013. 5

7 C

8 A

二、填空题(本题共 16 分,每小题 4 分) 9 x≥3 10 11
2 5

12 (-2, -3),4023 (各 2 分)

a(a-4) 2

三、解答题(本题共 30 分,每小题 5 分) 13.解:原式= 2 2 ? 1 ? 2 ?

2 1 ? . 2 3

………………………………………………4 分 ………………………………………………… 5 分

4 = 2? . 3
14.解: ?4( x ? 1) ? 7 x ? 8

? x?2 ? ?x ? 5 ? 3 ?

① ② …………………………………………………………1 分 …………………………………………………………3 分

由① x ? 4 . 得 13 由② x ? . 得 2

∴ 原不等式组的解集是 4 ? x ? ∴ 它的整数解为 4,5,6. 15. 证明: (1)如图 1.

13 . 2

………………………………… 4 分 ………………………………………… 5 分
E

∵ △DAC 和△DBE 都是等边三角形, ∴ DA=DC,DB=DE, ∠ ADC=∠ BDE=60? . ∴ ADC+∠ ∠ CDB=∠ BDE+∠ CDB, 即∠ ADB=∠ CDE. 在△DAB 和△DCE 中,
? DA ? DC, ? ??ADB ? ?CDE , ? DB ? DE, ?
A

…………1 分
D

……………2 分

C

B

图1

∴ △DAB≌ △DCE. (2)∵ △DAB≌ △DCE, ∴∠ A=∠ DCE=60°. ∵∠ ADC=60° , ∴∠ DCE =∠ ADC.
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………………………………………… 3 分 ……………………………………… 4 分

第 8 页(共 14 页)

∴ DA∥ EC.

………………………………………………… 5 分

y ? x ? y? 16. 解:原式= ( x ? y )( x ? y ) ? ..….….….…. …..…………..……………………2 分 2 xy 2? x ? y?
= x? y. 2x ∵ ………………………………………………………… 3 分

x ?3, y

∴ x ? 3y .

∴ 原式=

3y ? y 2 ? . 2? 3y 3

……………………………………………… 5 分

17. 解: (1)∵ 正比例函数 y ? ?

3 x 的图象经过点 A,且点 A 的横坐标为 ?2 , 2
…………………………………………… 1 分

∴ A 的纵坐标为 3. 点 ∵ 反比例函数 y ?

k 的图象经过点 A( ?2,3 ) , x

∴3 ?

k . ?2
……………………………………………………… 2 分 ……………………………………………………… 3 分

∴k ? ?6 . ∴y ? ?

6 . x
9 2

(2)点 P 的坐标为 (0, ) 或 (0, ? ) . 18.解:设原计划每天生产空气净化器 x 台. 依题意得 2400 ? 1200 ? 1.2 ? 2400 . x ? 10 x 解得 x ? 40 .

9 2

……………………………… 5 分 ……………………………………1 分 …………………………………… 2 分

…………………………………………………………… 3 分 ……………………… 4 分 ……………………………………………5 分

经检验, x ? 40 是原方程的解,并且符合题意. 答: 原计划每天生产空气净化器 40 台. 四、解答题(本题共 20 分,每小题 5 分) 19.解: (1)如图 2. ∵ 平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O, 1 1 ∴ OA= AC,OB= BD . 2 2 ∵ AC︰BD=2︰3,
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…………… 1 分
图2 第 9 页(共 14 页)

∴ OA︰OB=2︰3 . 设 OA=2x (x >0),则 OB=3x. ∵ AC⊥ AB, ∴ ∠BAC =90°. 在 Rt△OAB 中,OA2+AB2=OB2. ∵ AB=2, ∴ 2+22=(3x)2 . (2x) 2 5 解得 x=± (舍负). 5 ∴ AC=2OA= 8 5 . 5 …………………………………………………… 3 分 …………………………………… 2 分

(2)∵ 平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O, ∴ OB=OD. 1 1 4 5 4 5 ∴ △AOD= S△AOB= AO?AB = ? S ?2= . 2 2 5 5 20. (1)证明:连接 OD . (如图 3) ∵ OC=OD, ∴ ∠OCD=∠ODC. ∵ AB=AC, ∴ ∠ACB=∠B. ∴ ∠ODC=∠B. ∴ OD∥ AB. ∵ EF⊥ AB, ∴ ∠ODF =∠AEF =90°. ∴ OD⊥ . EF ∵ 为⊙O 的半径, OD ∴ 与⊙O 相切. EF ………………………………………………2 分 AE 3 = ,AE=6. AF 5 (2)解:由(1)知:OD∥ AB,OD⊥ . EF 在 Rt△AEF 中,sin∠CFD = ∴ AF=10. ∵ OD∥ AB, ∴ ODF∽ AEF. △ △ ∴ ∴ ∠ODF=∠AEF.
A
图3

……………………… 5 分
F

C O

D E B

…………………………………………………………… 1 分

………………………………………………………………3 分

OF OD . ? AF AE

设⊙O 的半径为 r, 10-r r ∴ = . 10 6 解得 r= 15 . 4 ……………………………………………………………… 4 分
第 10 页(共 14 页)

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∴ AB= AC=2r = ∴ EB=AB-AE=

15 . 2 ………… 5 分

15 3 -6= . 2 2

21.解: (1)17%;

……………………………2 分 ………………… 4 分
图4
y

(2)所补数据为 21.7; ……………………3 分 补全统计图如图 4; (3)2015. 22.解: (1)① 如图 5; (2)点 P 的坐标为 ………………………… 5 分 ………………………… 1 分
A

② D 的坐标为 ? 7,? ; 点 0

?

mn, . 0

?

………………… 3 分 ……………… 5 分

B

O

C

x

五、解答题(本题共 22 分,第 23 题 7 分,第 24 题 7 分,第 25 题 8 分) 23. (1)证明:∵? ? (a ? 4)2 ? 4 ? 2a ? a2 ? 16 , 而a ? 0,
2

图5

…………………………………1 分

∴a 2 ? 16 ? 0 ,即 ? ? 0 . ∴ 无论 a 为任何实数,此方程总有两个不相等的实数根.

…………2 分

a (2)解:∵ x ? 时, y ? 0 , 当 2 a 2 a ∴2 ? ( ) ? (a ? 4) ? ? a ? 0 . 2 2
∴a ? 3a ? 0 ,即 a(a ? 3) ? 0 .
2

∵a ? 0 , ∴a ? ?3 .

………………………………………………………… 3 分
2

∴ 抛物线 C1 的解析式为 y ? 2 x ? x ? 3 ? 2( x ? ) ?
2

1 4

25 . 8

∴ 抛物线 C1 的顶点为 (? , ?

1 4

25 ). 8

∴ 抛物线 C2 的顶点为 (0, ?3) . ∴ 抛物线 C2 的解析式为 y ? 2 x ? 3 .
2

…………………………4 分

(3)解:∵ A( m , n )和 B( n , m )都在抛物线 C2 上, 点 ∴n ? 2m ? 3 ,且 m ? 2n ? 3 .
2 2

∴n ? m ? 2(m ? n ) .
2 2

∴n ? m ? 2(m ? n)(m ? n) .
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∴(m ? n)[2(m ? n) ? 1] ? 0 . ∵ 、B 两点不重合,即 m ? n , A ∴2(m ? n) ? 1 ? 0 . ∴m ? n ? ?
2

1 . 2
2

……………………………………………………… 5 分

∵2m ? n ? 3 , 2n ? m ? 3 , ∴2m ? 2mn ? 2n
3 3

? 2m2 ? m ? 2mn ? 2n2 ? n
? (n ? 3) ? m ? 2mn ? (m ? 3) ? n
? 3(m ? n).

………………………………………………………………6 分 ………………………………………………………………7 分

3 ?? . 2
24.解: (1) cos ? =

3 ,△PMN 周长的最小值为 3 ; 2

………………………2 分

(2)分别将△PAB、△PBC、△PAC 沿直线 AB、BC、AC 翻折,点 P 的对称点分别是点 D、E、F, 连接 DE、DF, (如图 6) 则△PAB≌ △DAB,△PCB≌ △ECB,△PAC≌ △FAC. ∴ AD=AP=AF, BD=BP=BE,CE=CP=CF. ∵ 由(1)知∠ ABC=30° BAC=60° ACB=90° ,∠ ,∠ , ∴ DBE=2∠ ∠ ABC=60° DAF=2∠ ,∠ BAC=120° , ∠ FCE=2∠ ACB=180° . D ∴ △DBE 是等边三角形,点 F、C、E 共线. ∴ DE=BD=BP= 10 ,EF=CE+CF=2CP=2. ∵ △ADF 中,AD=AF= 2 ,∠ DAF=120° , ∴ ADF=∠ ∠ AFD=30° . ∴ DF= 3 AD = 6 . ∴EF 2 ? DF 2 ? 10 ? DE 2 . ∴ DFE=90° ∠ . ………………………………………………………4 分 ∵S多边形BDAFE ? 2S?ABC ? S?DBE ? S?DFE ? S?DAF , ∴2S?ABC ?
P A F
图6

B

E C

3 1 1 2 ? ( 10)2 ? ? 6 ? 2 ? ? 6 ? ?3 3? 6. 4 2 2 2
……………………………………………5 分
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∴S?ABC ?

3 3? 6 . 2

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(3)∠ APB=150° .

………………………………………………………… 7 分

说明:作 BM⊥ 于 M,AN⊥ 于 N.(如图 7) DE DF 由(2)知∠ DBE= 2? ,∠ DAF= 180? ? 2? . ∵ BD=BE= n ,AD=AF= m , ∴ DBM= ? ,∠ ∠ DAN= 90? ? ? . ∴ 1= 90? ? ? ,∠ ? . ∠ 3= ∴ DM = n sin ? ,DN= mcos? . ∴ DE=DF=EF. ∴ 2=60° ∠ . ∴ APB=∠ ∠ BDA=∠ 1+∠ 2+∠ 3=150° . 3 25.解: (1)∵ 直线 l: y ? x ? m 经过点 B(0, ?1) , 4 ∴m ? ?1 . ∴ 直线 l 的解析式为 y ? ∵ 直线 l: y ? ∴n ?
A N C D 1
2 3

B

P

M

E

F
图7

3 x ? 1. 4

3 , x ? 1 经过点 C(4,n) 4

3 ………………………………………………1 分 ? 4 ?1 ? 2 . 4 1 ∵ 抛物线 y ? x 2 ? bx ? c 经过点 C(4,2)和点 B(0, ?1) , 2 1 ? 2 ? ? 42 ? 4b ? c, ∴? 2 ? ? ?1 ? c. ?

5 ? b?? , 解得 ? 4 ? ?c ? ?1. ?
∴ 抛物线的解析式为 y ? (2)∵ 直线 l: y ?

1 2 5 x ? x ?1 . 2 4

…………………………2 分

3 x ? 1 与 x 轴交于点 A, 4 4 ∴ A 的坐标为( ,0). 点 3 4 ∴ OA= . 3 在 Rt△OAB 中,OB=1,

y
l
C E F

4 5 ∴ AB= OA ? OB = ( )2 ? 12 ? . 3 3
2 2

O A
B
图8

G D

x

∵ DE∥ y 轴, ∴ OBA=∠ ∠ FED. ∵ 矩形 DFEG 中,∠ DFE=90° , ∴ DFE=∠ ∠ AOB=90° . ∴ △OAB∽ △FDE.
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OA OB AB . ? ? FD FE DE OA 4 ∴FD ? ? DE ? DE , AB 5 OB 3 …………………………………………4 分 FE ? ? DE ? DE . AB 5 4 3 14 ∴ p =2(FD+ FE)= 2 ? ( ? ) DE ? DE . 5 5 5 3 1 5 ∵ D( t , t 2 ? t ? 1 ) ,E( t , t ? 1 ) ,且 0 ? t ? 4 , 4 2 4 3 1 5 1 ∴DE ? ( t ? 1) ? ( t 2 ? t ? 1) ? ? t 2 ? 2t . 4 2 4 2 14 1 7 28 ∴ p ? ? (? t 2 ? 2t ) ? ? t 2 ? …………………………… 5 分 t. 5 2 5 5 7 7 28 ∵ p ? ? (t ? 2) 2 ? ,且 ? ? 0 , 5 5 5 28 ∴ t ? 2 时, p 有最大值 . 当 …………………………………… 6 分 5 3 7 (3)点 A1 的横坐标为 或 ? . ……………………………………………8 分 4 12 说明:两种情况参看图 9 和图 10,其中 O1B1 与 x 轴平行,O1A1 与 y 轴平行.


y
l
C

y
l
C

O
B

A1

A B1

x

A1

O

A

x

O1

B O 1 B1 图 10

图9

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