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【成才之路】2014-2015学年高中数学 2.2.1 对数与对数运算 第1课时 对数课件 新人教A版必修1


成才之路 · 数学
人教A版 · 必修1

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

第二章
基本初等函数(Ⅰ)
1.1.1 集合的概念

第二章
2.2 对数函数

1.1.1 集合的概念

第二章 2.2.1 对数与对数运算
第一课时 对数
1.1.1 集合的概念

1

预习导学

3

随堂测评

2

互动课堂

4

课后强化作业

预习导学

●课标展示 1.理解对数的概念,了解常用对数和自然对数. 2.能够进行对数式与指数式的互化.

3.掌握对数的三个重要结论.

●温故知新

旧知再现
指数 , N 称为 1 .在指数 ab = N 中, a 称为底数 _____ , b 称为 _____ 幂值 ,在引入了分数指数幂与无理数指数幂之后,b的取值范 _____

实数 . 围由初中时的限定为整数扩充到了_____
1 ; a1 = _____ a ;对于任意 2 . 若 a>0 且 a≠1 , 则 a0 = _____ x∈R,ax>0.
3.填空:
4 (4)3 =64; (1)3___=81;(2)_____ 1 1 -3 -4 ____ 125 ;(4)2 = . (3)5 =_____ 16

新知导学
1.对数的概念 条件 ax=N(a>0,且a≠1) 结论 数x叫做以a为底N的对数,a叫做对数的_____ 底数 ,

N叫做_____ 真数

记法 x=log —————— aN

[ 名师点拨 ]

对数式 logaN 可看作一种记号,表示关于 x 的

方程ax=N(a>0,且a≠1)的解;也可以看作一种运算,即已知 底为 a(a > 0 ,且 a≠1) ,幂为 N ,求幂指数的运算,因此,对数

式logaN又可看作幂运算的逆运算.

2.常用对数和自然对数
10 为底的对数叫做常用对 (1) 常用对数:通常我们将以 ____ lgN 数,并把log10N记为_____. (2)自然对数:在科学技术中常使用以无理数 e=2.71828… e 为底的对数称为自然对数,并把logeN 为底数的对数,以_____ lnN 记为_____. 3.对数与指数的关系 logaN 当a>0,且a≠1时,ax=N?x=_______.

[知识拓展 ]
且a≠1).

当ax=N时,x =logaN,则alogaN=N(a>0,

4.对数的基本性质 (1)____ 零 和______ 负数 没有对数. 0 a>0,且a≠1). (2)loga1=___( 1 a>0,且a≠1). (3)logaa=___(

●自我检测 1.若2n=3,则n=( A.log32 ) B.log23

C.log22
[答案] B

D.log33

2.log78的底数是________,真数是________. [答案] 7 8

3.lg7与ln8的底数分别是( A.10,10 C.10,e [答案] C

)

B.e,e D.e,10

4.log54=a化为指数式是( A.54=a C.5a=4 [答案] C

)

B.45=a D.4a=5

5.在b=log3(m-1)中,实数m的取值范围是( A.R C.(-∞,1) [答案] D B.(0,+∞) D.(1,+∞)

)

6.log41+log

2-1(

2-1)=________.

[答案] 1

互动课堂

●典例探究

1
1
3

对数的定义与指对互化
把下列各等式化为相应的对数式或者指数式.
1 -2 (2)(4) =16; 1 (4)log327=-3.

(1)5 =125; (3) log1 8=-3;
2

[分析] 利用指数式与对数式间的等价关系式求解.

[解析] (1)∵53=125,∴log5125=3. 1 -2 (2)∵(4) =16,∴log1 16=-2. 4 1 -3 (3)∵log1 8=-3,∴(2) =8. 2 1 1 -3 (4)∵log327=-3,∴3 =27.

规律总结: 对数式 logaN= b 是由指数式 ab = N变化得 来的,两式底数相同,对数式中的真数N就是指数式中的幂的 值,而对数值 b 是指数式中的幂指数,对数式与指数式的关系 如图:

并非所有指数式都可以直接化为对数式.如(-3)2=9就不 能直接写成 log( - 3)9 = 2 ,只有 a > 0 且 a≠1 , N > 0 时,才有 ax = N?x=logaN. 另外互化时,首先指数式与对数式的底数相同,其次将对

数式的对数换为指数式的指数(或将指数式的指数换为对数式的
对数).

1

将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式: (1)42=16; (2)102=100;
1 (3)42

=2;
2

(4) log1 32=-5.

[分析]

按照指数式与对数式的关系转化,幂底数对应对

数底数,指数对应对数,幂对应真数.
[解析] (1)log416=2.(2)lg100=2. 1 1 -5 (3)log42=2.(4)(2) =32.

求下列各式的值: (1)log464; (2)log31; (3)log927. [分析] 求对数式的值,可以设其为x,将之转化为指数式

求解.

[解析] (1)设 log464=x,则 4x=64, ∵64=43,∴x=3,∴log464=3. (2)设 log31=x,则 3x=1, ∵1=30,∴x=0,∴log31=0. (3)设 log927=x,则 9x=27 即 32x=33, 3 3 ∴2x=3 即 x=2,∴log927=2.

规律总结:对数是指数的逆运算,对数的求值,要通 1 - 过指数来解决如 logaa=1,loga1=logaa =0,logaa=logaa 1=
0

-1,loga a=loga

1 a2

1 =2.

2

1 (1) log1 125=________. 5 1 (2)log3 =________. 9 (3)log42 2=________.

[答案] (1)3

3 (2)-2 (3)4

1 13 [解析] (1) log1 125=log1 (5) =3. 5 5 1 (2)log39=log33-2=-2. 3 3 (3)设 log42 2=x,∴4 =2 2,即 2 =22,∴x=4,
x 2x

3 ∴log42 2=4.

解简单的对数方程 求下列各式中的x:

2 (1)logx( 2-1)=-1; (2)log4x=-3; (3)log2(log5x)=0; (4)log3(lgx)=1; 1 (5)2log3x=4. [分析] 利用指对互化、对数恒等式及对数的性质求解.

1 [解析] (1)x =( 2-1),∴x= = 2+1. 2-1
-1

2 - (2)x=4 3



1 3

42

4 = 4 .

3

(3)log2(log5x)=0,∴log5x=1,∴x=5. (4)log3(lgx)=1,∴lgx=3,∴x=103=1 000. 1 (5)2log3x=4,∴2log3x=2-2,∴log3x=-2, 1 ∴x=3 ,∴x=9.
-2

1 (1)若 log3x=- ,则 x=________. 2 (2)若 logx2=-3,则 x=________. (3)log3(log4x)=1,则 x=________. (4)3log2x=27,则 x=________.

3 4 [答案] (1) 3 (2) 2 (3)64 (4)512

3

[解析] (1)x=3



1 2

1 3 = =3; 3 4 = 2 . 3

1 -3 - (2)x =2,x=2 3

(3)log3(log4x)=1, ∴log4x=3,∴x=43=64. (4)3log2x=27,∴log2x=9,∴x=512.

●误区警示 易错点 忽略了对数式的底数和真数的取值范围 对数式loga-2(5-a)=b中,实数a的取值范围是 ( )

A.(-∞,5)
C.(2,+∞) [错解] A

B.(2,5)
D.(2,3)∪(3,5)

由题意,得5-a>0,∴a<5.

[错因分析] [思路分析] 失彼.
[正解] D

该解法忽视了对数的底数和真数都有范围限 对数的真数与底数都有范围限制,不可顾此

制,只考虑了真数而忽视了底数.

?5-a>0, ? 由题意,得?a-2>0, ?a-2≠1, ?

∴2<a<3 或 3<a<5.

1

使对数 loga(-2a+1)有意义的 a 的取值范围为( 1 A.a>2且 a≠1 C.a>0 且 a≠1
[解析]

)

1 B.0<a<2 1 D.a<2

由对数的概念可知使对数 loga(-2a+1)有意义的 1 解得 0<a<2.

?a>0, ? a 需满足?a≠1, ?-2a+1>0, ? [答案] B

随堂测评

1.把对数式x=lg2化为指数式为( A.10x=2 C.x2=10 [答案] A B.x10=2 D.2x=10

)

2.指数式b2=a(b>0且b≠1)化为对数式是( A.log2a=b C.logab=2 B.log2b=a D.logba=2

)

[答案] D

3.有以下四个结论: ①lg(lg10)=0; ③若10=lgx,则x=10; 其中正确的是( ) ②lg(lne)=0; ④若e=lnx,则x=e2.

A.①③
C.①② [答案] C

B.②④
D.③④

4.使式子logx+1(1-x)有意义的x的值是( A.x<-1或>1 B.-1<x<1

)

C.-1<x<1且x≠0
[答案] C
?1-x>0 ? ?x+1≠1 ?x+1>0 ?

D.x≠0

[解析]

,即-1<x<1 且 x≠0, ,故选 C.

5.已知logx9=-2,则x=________.
[答案] 1 3
-2

1 1 [解析] x =9,∴x =9,∴x=3.
2

6.将下列指数式改写成对数式,对数式改写成指数式: 1 (1)3 =243; (2)2 =256;
5
-8

(3)lga=0.4771; (4)ln12=b.
[解析] (1)log3243=5. 1 (2)log2256=-8. (3)100.4771=a. (4)eb=12.


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