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人教A版高一数学必修1全套教案


人教 A 版高一数学 (必修 1)





庐江三中:张先道

课题:§1.1

集合

教材分析:集合概念及其基本理论,称为集合论,是近、现代数学的一个重要的基础,一方面, 许多重要的数学分支,都建立在集合理论的基础上。另一方面,集合论及其所反映的 数学思想,在越来越广泛的领域种得到应用。 课 型:新授课 教学目标:(1)通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的理解集合“属于”关系; (2)能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题, 感受集合语言的意义和作用; 教学重点:集合的基本概念与表示方法; 教学难点:运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法,正确表示一些简单的集合; 教学过程: 一、引入课题 军训前学校通知:8 月 15 日 8 点,高一年段在体育馆集合进行军训动员;试问这个通知的 对象是全体的高一学生还是个别学生? 在这里, 集合是我们常用的一个词语, 我们感兴趣的是问题中某些特定 (是高一而不是高二、 高三)对象的总体,而不是个别的对象,为此,我们将学习一个新的概念——集合(宣布课题), 即是一些研究对象的总体。 阅读课本 P2-P3 内容 二、新课教学 (一)集合的有关概念 1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体,人们能意识到这些 东西,并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。 2. 一般地,研究对象统称为元素(element),一些元素组成的总体叫集合(set),也简 称集。 3. 思考 1:课本 P3 的思考题,并再列举一些集合例子和不能构成集合的例子,对学生的 例子予以讨论、点评,进而讲解下面的问题。 4. 关于集合的元素的特征 (1)确定性:设 A 是一个给定的集合,x 是某一个具体对象,则或者是 A 的元素,或 者不是 A 的元素,两种情况必有一种且只有一种成立。 (2)互异性:一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体(对象), 因此,同一集合中不应重复出现同一元素。 (3)集合相等:构成两个集合的元素完全一样 5. 元素与集合的关系; (1)如果 a 是集合 A 的元素,就说 a 属于(belong to)A,记作 a∈A (2) 如果 a 不是集合 A 的元素, 就说 a 不属于 (not belong to) A, 记作 a ? A (或 a A) (举例) ? 6. 常用数集及其记法 非负整数集(或自然数集),记作 N 正整数集,记作 N*或 N+; 整数集,记作 Z
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有理数集,记作 Q 实数集,记作 R (二)集合的表示方法 我们可以用自然语言来描述一个集合,但这将给我们带来很多不便,除此之外还常用 列举法和描述法来表示集合。 (1) 列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内。 如:{1,2,3,4,5},{x2,3x+2,5y3-x,x2+y2},…; 例 1.(课本例 1) 思考 2,引入描述法 说明:集合中的元素具有无序性,所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序。 (2) 描述法:把集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号{}内。 具体方法:在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围, 再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 如:{x|x-3>2},{(x,y)|y=x2+1},{直角三角形},?; 例 2.(课本例 2) 说明:(课本 P5 最后一段) 思考 3:(课本 P6 思考) 强调:描述法表示集合应注意集合的代表元素 {(x,y)|y= x2+3x+2}与 {y|y= x2+3x+2}不同,只要不引起误解,集合的代表元素也可省略, 例如:{整数},即代表整数集 Z。 辨析:这里的{ }已包含“所有”的意思,所以不必写{全体整数}。下列写法{实数集},{R} 也是错误的。 说明:列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法,要注意, 一般集合中元素较多或有无限个元素时,不宜采用列举法。 (三)课堂练习(课本 P6 练习) 三、归纳小结 本节课从实例入手, 非常自然贴切地引出集合与集合的概念, 并且结合实例对集合的概念作 了说明,然后介绍了集合的常用表示方法,包括列举法、描述法。 四、作业布置 书面作业:习题 1.1,第 1- 4 题

课题:§1.2 集合间的基本关系
教材分析:类比实数的大小关系引入集合的包含与相等关系;了解空集的含义 课 型:新授课 教学目的:(1)了解集合之间的包含、相等关系的含义;(2)理解子集、真子集的概念; (3)能利用 Venn 图表达集合间的关系; (4)了解与空集的含义。
教学重点:子集与空集的概念;用 Venn 图表达集合间的关系。

教学难点:弄清元素与子集 、属于与包含之间的区别; 教学过程: 一、引入课题 1、复习元素与集合的关系——属于与不属于的关系,填以下空白: (1)0 N;(2) 2 Q;(3)-1.5 R

2、类比实数的大小关系,如 5<7,2≤2,试想集合间是否有类似的“大小”关系呢?(宣布课题)
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二、新课教学 (一) 集合与集合之间的“包含”关系; A={1,2,3},B={1,2,3,4} 集合 A 是集合 B 的部分元素构成的集合,我们说集合 B 包含集合 A; 如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,我们说这两个集合有包含关系,称集合 A 是集合 B 的子集(subset)。 记作: A ? B(或B ? A) 读作:A 包含于(is contained in)B,或 B 包含(contains)A 当集合 A 不包含于集合 B 时,记作 A ?B 用 Venn 图表示两个集合间的“包含”关系

A ? B(或B ? A)
(二) 集合与集合之间的 “相等”关系;

B

A

A ? B且B ? A ,则 A ? B 中的元素是一样的,因此 A ? B


?A ? B A? B?? ?B ? A

(三)

(四)

(五) (六)

(七) (八)

(九)

练习 结论: 任何一个集合是它本身的子集 真子集的概念 若集合 A ? B , 存在元素 x ? B且x ? A , 则称集合 A 是集合 B 的真子集 (proper subset) 。 记作:A B(或 B A) 读作:A 真包含于 B(或 B 真包含 A) 举例(由学生举例,共同辨析) 空集的概念 (实例引入空集概念) 不含有任何元素的集合称为空集(empty set),记作: ? 规定: 空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。 1 A? A ○ 2 A ? B ,且 B ? C ,则 A ? C 结论:○ 例题 (1)写出集合{a,b}的所有的子集,并指出其中哪些是它的真子集。 (2)化简集合 A={x|x-3>2},B={x|x ? 5},并表示 A、B 的关系; 课堂练习 归纳小结,强化思想 两个集合之间的基本关系只有“包含”与 “相等” 两种,可类比两个实数间的大小关系, 同时还要注意区别“属于”与“包含”两种关系及其表示方法; 作业布置 1、 书面作业:习题 1.1 第 5 题 2、 提高作业: 1 已知集合 A ? {x | a ? x ? 5} , B ? {x | x ≥ 2} ,且满足 A ? B ,求实数 a 的取 ○ 值范围。 2 设集合 A ? {四边形 ○ },B ? {平行四边形 },C ? {矩形},

D ? {正方形} ,试用 Venn 图表示它们之间的关系。
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课题:§1.3 集合的基本运算
教学目的:(1)理解两个集合的并集与交集的的含义,会求两个简单集合的并集与交集; (2) 理解在给定集合中一个子集的补集的含义, 会求给定子集的补集; (3) 能用 Venn 图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用。 课 型:新授课
教学重点:集合的交集与并集、补集的概念;

教学难点:集合的交集与并集、补集“是什么”,“为什么”,“怎样做”; 教学过程: 一、引入课题 我们两个实数除了可以比较大小外,还可以进行加法运算,类比实数的加法运算,两个集合 是否也可以“相加”呢? 思考(P9 思考题),引入并集概念。 二、新课教学 1. 并集 一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合,称为集合 A 与 B 的并集 (Union) 记作:A∪B 读作:“A 并 B” 即: A∪B={x|x∈A,或 x∈B} B A Venn 图表示: 说明:两个集合求并集,结果还是一个集合,是由 集合 A 与 B 的所有元素组成的集合 (重复元素只看 成一个元素)。 A∪B 例题(P9-10 例 4、例 5) 说明:连续的(用不等式表示的)实数集合可以用 数轴上的一段封闭曲线来表示。 问题:在上图中我们除了研究集合 A 与 B 的并集外,它们的公共部分(即问号部分)还应 是我们所关心的,我们称其为集合 A 与 B 的交集。 交集 一般地,由属于集合 A 且属于集合 B 的元素 所组成的集合,叫做集合 A 与 B 的交集 (intersection)。 记作:A∩B 读作:“A 交 B” 即: A∩B={x|∈A,且 x∈B} 交集的 Venn 图表示 说明:两个集合求交集,结果还是一个集合, 是由集合 A 与 B 的公共元素组成的集合。 例题(P9-10 例 6、例 7) 拓展:求下列各图中集合 A 与 B 的并集与交集 B A B B A(B) A A B A 说明:当两个集合没有公共元素时,两个集合的交集是空集,而不能说两个集合没有交集 补集 全集:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那么就称这个集合
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?

2.

3.

为全集(Universe),通常记作 U。 补集:对于全集 U 的一个子集 A,由全集 U 中所有不属于集合 A 的所有元素组成的集合称 为集合 A 相对于全集 U 的补集(complementary set),简称为集合 A 的补集, 记作:CUA 即:CUA={x|x∈U 且 x∈A} 补集的 Venn 图表示

U

4.

5.

6.

5 (4)集合A ? {x | ?4 ? x ? 2},B ? {x | ?1 ? x ? 3},C ? {x | x ? 0,或x ? } 2 三、归纳小结(略) 那么A ? B ? C ? __________ _____, A ? B ? C ? __________ ___; 四、作业布置
3、 书面作业:P13 习题 1.1,第 6-12 题 4、 提高内容: (1) 已知 X={x|x2+px+q=0,p2-4q>0},A={1,3,5,7,9},B={1,4,7,10},且

说明:补集的概念必须要有全集的限制 例题(P12 例 8、例 9) 求集合的并、交、 补是集合间的基本运算,运算结果 U 仍然还是集合,区分交集与并集的关键是“且”与“或”, 在处理有关交集与并集的问题时, 常常从这两个字眼出发去 揭示、挖掘题设条件, 结合 Venn 图或数轴进而用集合语言表达, 增强数形结合的思想方法。 集合基本运算的一些结论: A∩B ? A,A∩B ? B,A∩A=A,A∩ ? = ? ,A∩B=B∩A A ? A∪B,B ? A∪B,A∪A=A,A∪ ? =A,A∪B=B∪A (CUA)∪A=U,(CUA)∩A= ? 若 A∩B=A,则 A ? B,反之也成立 若 A∪B=B,则 A ? B,反之也成立 若 x∈(A∩B),则 x∈A 且 x∈B 若 x∈(A∪B),则 x∈A,或 x∈B 课堂练习 n m ?1 (31 )集合 ?奇数 {n | }、 ? Z}, B? {m | A∩Z=A ?, Z} ,则 A, ?A B∩ ?B= __________ ? ( )设 A A={ B={ 偶数 } ,则 B ∩Z=B 2 2 (2)设 A={奇数}、B={偶数},则 A∪Z=Z,B∪Z=Z,A∪B=Z

A

CA

X ? A ? ?, X ? B ? X ,试求 p、q;
(2) 集合 A={x|x2+px-2=0},B={x|x2-x+q=0},若 A ? B={-2,0,1},求 p、q; (3) A={2,3,a2+4a+2},B={0,7,a2+4a-2,2-a},且 A ? B ={3,7},求 B

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课题:§1.2.1 函数的概念
教材分析: 函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型. 高中阶段不仅把函数看成变量之间的 依赖关系, 同时还用集合与对应的语言刻画函数, 高中阶段更注重函数模型化的思想. 教学目的:(1)通过丰富实例,进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型, 在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的 作用; (2)了解构成函数的要素; (3)会求一些简单函数的定义域和值域; (4)能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域;
教学重点:理解函数的模型化思想,用合与对应的语言来刻画函数;

教学难点:符号“y=f(x)”的含义,函数定义域和值域的区间表示; 教学过程: 一、引入课题 1. 复习初中所学函数的概念,强调函数的模型化思想; 2. 阅读课本引例,体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想: (1)炮弹的射高与时间的变化关系问题; (2)南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题; (3)“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题 备用实例: 我国 2003 年 4 月份非典疫情统计: 日 期 22 23 24 25 26 27 28 29 30 新增确诊病例数 106 105 89 103 113 126 98 152 101 3. 引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系; 4. 根据初中所学函数的概念,判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系. 二、新课教学 (一)函数的有关概念 1.函数的概念: 设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x, 在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函 数(function). 记作: y=f(x),x∈A. 其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域(domain);与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域(range). 注意: 1 “y=f(x)”是函数符号,可以用任意的字母表示,如“y=g(x)”; ○ 2 函数符号“y=f(x)”中的 f(x)表示与 x 对应的函数值,一个数,而不是 f 乘 x. ○ 2. 构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域 3.区间的概念 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间; (2)无穷区间;
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(3)区间的数轴表示. 4.一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论 (由学生完成,师生共同分析讲评) (二)典型例题 1.求函数定义域 课本 P20 例 1 解:(略) 说明: 1 函数的定义域通常由问题的实际背景确定,如果课前三个实例; ○ 2 如果只给出解析式 y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义域即是指能使这个式 ○ 子有意义的实数的集合; 3 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式. ○ 巩固练习:课本 P22 第 1 题 2.判断两个函数是否为同一函数 课本 P21 例 2 解:(略) 说明: 1 构成函数三个要素是定义域、 ○ 对应关系和值域. 由于值域是由定义域和对应关系决定的, 所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数) 2 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的 ○ 字母无关。 巩固练习: 1 课本 P22 第 2 题 ○ 2 判断下列函数 f(x)与 g(x)是否表示同一个函数,说明理由? ○ (1)f ( x ) = (x -1) 0;g ( x ) = 1 (3)f ( x ) = x 2;f ( x ) = (x + 1) 2 (三)课堂练习 求下列函数的定义域 (1) f ( x ) ? (2)f ( x ) = x; g ( x ) = (4)f ( x ) = | x | ;g ( x ) =

x2 x2

1 x? | x |

(2) f ( x ) ?

1 1? 1 x

(3) f ( x) ? (5) f ( x ) ?

? x 2 ? 4x ? 5 x 2 ? 6x ? 10

(4) f ( x ) ?

4 ? x2 x ?1

(6) f (x) ? 1 ? x ? x ? 3 ? 1

三、归纳小结,强化思想 从具体实例引入了函数的的概念, 用集合与对应的语言描述了函数的定义及其相关概念, 介 绍了求函数定义域和判断同一函数的典型题目,引入了区间的概念来表示集合。 四、作业布置 课本 P28 习题 1.2(A 组) 第 1—7 题 (B 组)第 1 题

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课题:§1.2.2 映射
教学目的:(1)了解映射的概念及表示方法,了解象、原象的概念; (2)结合简单的对应图示,了解一一映射的概念.
教学重点:映射的概念.

教学难点:映射的概念. 教学过程: 一、引入课题 复习初中已经遇到过的对应: 1. 对于任何一个实数 a,数轴上都有唯一的点 P 和它对应; 2. 对于坐标平面内任何一个点 A,都有唯一的有序实数对(x,y)和它对应; 3. 对于任意一个三角形,都有唯一确定的面积和它对应; 4. 某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应; 5. 函数的概念. 二、新课教学 1. 我们已经知道,函数是建立在两个非空数集间的一种对应,若将其中的条件“非空数集”弱 化为“任意两个非空集合”,按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系,这 种的对应就叫映射(mapping)(板书课题). 2. 先看几个例子,两个集合 A、B 的元素之间的一些对应关系 (1)开平方;(2)求正弦(3)求平方;(4)乘以 2; 3. 什么叫做映射? 一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则 f,使对于集合 A 中的 任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f:A ?B 为从集 合 A 到集合 B 的一个映射(mapping). 记作“f:A ?B” 说明: (1)这两个集合有先后顺序,A 到 B 的射与 B 到 A 的映射是截然不同的.其中 f 表示具体 的对应法则,可以用汉字叙述. (2)“都有唯一”什么意思? 包含两层意思:一是必有一个;二是只有一个,也就是说有且只有一个的意思。 4. 例题分析:下列哪些对应是从集合 A 到集合 B 的映射? (1)A={P | P 是数轴上的点},B=R,对应关系 f:数轴上的点与它所代表的实数对应; (2)A={ P | P 是平面直角体系中的点},B={(x,y)| x∈R,y∈R},对应关系 f:平面直 角体系中的点与它的坐标对应; (3)A={三角形},B={x | x 是圆},对应关系 f:每一个三角形都对应它的内切圆; (4)A={x | x 是新华中学的班级},B={x | x 是新华中学的学生},对应关系 f:每一个班级 都对应班里的学生. 思考: 将(3)中的对应关系 f 改为:每一个圆都对应它的内接三角形; (4)中的对应关系 f 改为: 每一个学生都对应他的班级,那么对应 f: B ?A 是从集合 B 到集合 A 的映射吗? 5. 完成课本练习
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三、作业布置 补充习题

课题:§1.2.2 函数的表示法
教学目的:(1)明确函数的三种表示方法; (2)在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数; (3)通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用; (4)纠正认为“y=f(x)”就是函数的解析式的片面错误认识.
教学重点:函数的三种表示方法,分段函数的概念.

教学难点:根据不同的需要选择恰当的方法表示函数,什么才算“恰当”?分段函数的表示及其 图象. 教学过程: 一、引入课题 5. 复习:函数的概念; 6. 常用的函数表示法及各自的优点: (1)解析法;(2)图象法;(3)列表法. 二、新课教学 (一)典型例题 例 1.某种笔记本的单价是 5 元,买 x (x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要 y 元.试用三种 表示法表示函数 y=f(x) . 分析:注意本例的设问,此处“y=f(x)”有三种含义,它可以是解析表达式,可以是图象, 也可以是对应值表. 解:(略) 注意: 1 函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等,注意判断一个图 ○ 形是否是函数图象的依据; 2 解析法:必须注明函数的定义域; ○ 3 图象法:是否连线; ○ 4 列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征. ○ 巩固练习: 课本 P27 练习第 1 题 例 2.下表是某校高一(1)班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级及班级平 均分表: 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 王 伟 98 87 91 92 88 95 张 城 90 76 88 75 86 80 赵 磊 68 65 73 72 75 82 班平均分 88.2 78.3 85.4 80.3 75.7 82.6 请你对这三们同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析. 分析: 本例应引导学生分析题目要求, 做学情分析, 具体要分析什么?怎么分析?借助什么工具? 解:(略) 注意: 1 本例为了研究学生的学习情况,将离散的点用虚线连接,这样更便于研究成绩的变化特点; ○
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2 本例能否用解析法?为什么? ○ 巩固练习: 课本 P27 练习第 2 题 例 3.画出函数 y = | x | . 解:(略) 巩固练习:课本 P27 练习第 3 题 拓展练习: 任意画一个函数 y=f(x)的图象,然后作出 y=|f(x)| 和 y=f (|x|) 的图象,并尝试简要说明三者 (图象)之间的关系. 课本 P27 练习第 3 题 例 4.某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定: (1) 乘坐汽车 5 公里以内,票价 2 元; (2) 5 公里以上,每增加 5 公里,票价增加 1 元(不足 5 公里按 5 公里计算). 已知两个相邻的公共汽车站间相距约为 1 公里,如果沿途(包括起点站和终点站)设 20 个 汽车站,请根据题意,写出票价与里程之间的函数解析式,并画出函数的图象. 分析:本例是一个实际问题,有具体的实际意义.根据实际情况公共汽车到站才能停车,所 以行车里程只能取整数值. 解:设票价为 y 元,里程为 x 公里,同根据题意, 如果某空调汽车运行路线中设 20 个汽车站(包括起点站和终点站),那么汽车行驶的里程 约为 19 公里,所以自变量 x 的取值范围是{x∈N*| x≤19}. 由空调汽车票价制定的规定,可得到以下函数解析式:

?2 ?3 ? y?? ?4 ? ?5

0? x?5 5 ? x ? 10 * (x?N ) 10 ? x ? 15 15 ? x ? 19

根据这个函数解析式,可画出函数图象,如下图所示: y 注意: 5 1 本例具有实际背景,所以解题时 ○ 4 应考虑其实际意义; 2 本题可否用列表法表示函数,如 ○ 3 果可以,应怎样列表? 2 实践与拓展: 1 请你设计一张乘车价目表,让售票员 和乘客非常容易地知道任意两站之间的票 O 10 15 19 5 价.(可以实地考查一下某公交车线路) 说明:象上面两例中的函数,称为分段函数. 注意: 分段函数的解析式不能写成几个不同的方程, 而就写函数值几种不同的表达式并用一 个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况. 三、归纳小结,强化思想 理解函数的三种表示方法, 在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数, 注意分 段函数的表示方法及其图象的画法. 四、作业布置
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x

课本 P28 习题 1.2(A 组) 第 8—12 题 (B 组)第 2、3 题

课题:§1.3.1 函数的单调性
教学目的:(1)通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性及其几何意义; (2)学会运用函数图象理解和研究函数的性质; (3)能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性.
教学重点:函数的单调性及其几何意义.

教学难点:利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性. 教学过程: 一、引入课题 1. 观察下列各个函数的图象,并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律: y 1 -1 -1 1 x -1 -1 y 1 1 x -1 -1 y 1 -1 -1 y 1 -1 -1 1 x 1 x y 1 1 x

1 随 x 的增大,y 的值有什么变化? ○ 2 能否看出函数的最大、最小值? ○ 3 函数图象是否具有某种对称性? ○ 2. 画出下列函数的图象,观察其变化规律:

1.f(x) = x 1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○ 2 在区间 ____________ 上,随着 x 的增 ○ 大,f(x)的值随着 ________ . 2.f(x) = -2x+1 1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○ 2 在区间 ____________ 上,随着 x 的增 ○ 大,f(x)的值随着 ________ . 3.f(x) = x2 1 在区间 ____________ 上,f(x)的值随 ○ 着 x 的增大而 ________ . 2 在区间 ____________ 上,f(x)的值随 ○ 着 x 的增大而 ________ . 二、新课教学

y 1

-1 1 x -1 (一)函数单调性定义 1.增函数 一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I, 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数(increasing function). 思考:仿照增函数的定义说出减函数的定义.(学生活动) 注意:
11

1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质; ○ 2 必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2;当 x1<x2 时,总有 f(x1)<f(x2) . ○ 2.函数的单调性定义 如果函数 y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数 y=f(x)在这一区间具 有(严格的)单调性,区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间: 3.判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤: 1 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2; ○ 2 作差 f(x1)-f(x2); ○ 3 变形(通常是因式分解和配方); ○ 4 定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负); ○ 5 下结论(即指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性). ○ (二)典型例题 例 1.(教材 P34 例 1)根据函数图象说明函数的单调性. 解:(略) 巩固练习:课本 P38 练习第 1、2 题 例 2.(教材 P34 例 2)根据函数单调性定义证明函数的单调性. 解:(略) 巩固练习: 1 课本 P38 练习第 3 题; ○ 2 证明函数 y ? x ? ○

1 在(1,+∞)上为增函数. x

例 3.借助计算机作出函数 y =-x2 +2 | x | + 3 的图象并指出它的的单调区间. 解:(略) 思考:画出反比例函数 y ?

1 的图象. x

1 这个函数的定义域是什么? ○ 2 它在定义域 I 上的单调性怎样?证明你的结论. ○ 说明:本例可利用几何画板、函数图象生成软件等作出函数图象. 三、归纳小结,强化思想

函数的单调性一般是先根据图象判断,再利用定义证明.画函数图象通常借助计算机,求函 数的单调区间时必须要注意函数的定义域,单调性的证明一般分五步: 取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论 四、作业布置 1. 书面作业:课本 P45 习题 1.3(A 组) 第 1- 5 题. 2. 提高作业:设 f(x)是定义在 R 上的增函数,f(xy)=f(x)+f(y),
1 求 f(0)、f(1)的值; ○ 2 若 f(3)=1,求不等式 f(x)+f(x-2)>1 的解集. ○

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课题:§1.3.2 函数的奇偶性
教学目的:(1)理解函数的奇偶性及其几何意义; (2)学会运用函数图象理解和研究函数的性质; (3)学会判断函数的奇偶性. 教学重点:函数的奇偶性及其几何意义. 教学难点:判断函数的奇偶性的方法与格式. 教学过程: 一、引入课题 1.实践操作:(也可借助计算机演示) 取一张纸,在其上画出平面直角坐标系,并在第一象限任画一可作为函数图象的图形,然后 按如下操作并回答相应问题: 1 以 y 轴为折痕将纸对折,并在纸的背面(即第二象限)画出第一象限内图形的痕迹,然后将 ○ 纸展开,观察坐标系中的图形; 问题:将第一象限和第二象限的图形看成一个整体,则这个图形可否作为某个函数 y=f(x)的图 象,若能请说出该图象具有什么特殊的性质?函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系? 答案:(1)可以作为某个函数 y=f(x)的图象,并且它的图象关于 y 轴对称; (2)若点(x,f(x))在函数图象上,则相应的点(-x,f(x))也在函数图象上,即函 数图象上横坐标互为相反数的点,它们的纵坐标一定相等. 2 以 y 轴为折痕将纸对折,然后以 x 轴为折痕将纸对折,在纸的背面(即第三象限)画出第一 ○ 象限内图形的痕迹,然后将纸展开,观察坐标系中的图形: 问题: 将第一象限和第三象限的图形看成一个整体, 则这个图形可否作为某个函数 y=f(x)的图象, 若能请说出该图象具有什么特殊的性质?函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系? 答案:(1)可以作为某个函数 y=f(x)的图象,并且它的图象关于原点对称; (2)若点(x,f(x))在函数图象上,则相应的点(-x,-f(x))也在函数图象上,即 函数图象上横坐标互为相反数的点,它们的纵坐标也一定互为相反数. 2.观察思考(教材 P39、P40 观察思考) 二、新课教学 (一)函数的奇偶性定义 1 中的图象关于 y 轴对称的函数即是偶函数, 2 中的图象关于原点对称 象上面实践操作○ 操作○ 的函数即是奇函数. 1.偶函数(even function) 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),那么 f(x)就叫做偶函数. (学生活动):仿照偶函数的定义给出奇函数的定义 2.奇函数(odd function) 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),那么 f(x)就叫做奇函数. 注意: 1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质; ○ 2 由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一 ○ 个 x,则-x 也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称). (二)具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于 y 轴对称; 奇函数的图象关于原点对称. (三)典型例题 1.判断函数的奇偶性 例 1. (教材 P36 例 3)应用函数奇偶性定义说明两个观察思考中的四个函数的奇偶性. (本 例由学生讨论,师生共同总结具体方法步骤) 解:(略) 总结:利用定义判断函数奇偶性的格式步骤: 1 首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称; ○ 2 确定 f(-x)与 f(x)的关系; ○
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3 作出相应结论: ○ 若 f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则 f(x)是偶函数; 若 f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则 f(x)是奇函数. 巩固练习:(教材 P41 例 5) 例 2.(教材 P46 习题 1.3 B 组每 1 题) 解:(略) 说明:函数具有奇偶性的一个必要条件是,定义域关于原点对称,所以判断函数的奇偶性应 应首先判断函数的定义域是否关于原点对称,若不是即可断定函数是非奇非偶函数. 2.利用函数的奇偶性补全函数的图象 (教材 P41 思考题) 规律: 偶函数的图象关于 y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称. 说明:这也可以作为判断函数奇偶性的依据. 巩固练习:(教材 P42 练习 1) 3.函数的奇偶性与单调性的关系 (学生活动)举几个简单的奇函数和偶函数的例子,并画出其图象,根据图象判断奇函数和 偶函数的单调性具有什么特殊的特征. 例 3.已知 f(x)是奇函数,在(0,+∞)上是增函数,证明:f(x)在(-∞,0)上也是增函数 解:(由一名学生板演,然后师生共同评析,规范格式与步骤) 规律: 偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反; 奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致. 三、归纳小结,强化思想 本节主要学习了函数的奇偶性,判断函数的奇偶性通常有两种方法,即定义法和图象法,用定 义法判断函数的奇偶性时,必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称.单调性与奇偶性的 综合应用是本节的一个难点,需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质. 四、作业布置 3. 书面作业:课本 P46 习题 1.3(A 组) 第 9、10 题, B 组第 2 题.

2.补充作业:判断下列函数的奇偶性:
1 f ( x) ? ○

2x 2 ? 2x ; x ?1
( x? R)

2 ○ f ( x) ? x ? 2x ;

3

3 f ( x) ? a ○

4 ○ f ( x) ? ?

? x(1 ? x) ? x(1 ? x)

x ? 0, x ? 0.

3. 课后思考: 已知 f ( x) 是定义在 R 上的函数, 设 g ( x) ?

f ( x) ? f (? x) f ( x) ? f (? x) , h( x ) ? 2 2

1 试判断 g ( x)与h( x) 的奇偶性; ○

2 试判断 g ( x), h( x)与f ( x) 的关系; ○ 3 由此你能猜想得出什么样的结论,并说明理由. ○

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课题:§1.3.1 函数的最大(小)值
教学目的:(1)理解函数的最大(小)值及其几何意义; (2)学会运用函数图象理解和研究函数的性质; 教学重点:函数的最大(小)值及其几何意义. 教学难点:利用函数的单调性求函数的最大(小)值. 教学过程: 一、引入课题 画出下列函数的图象,并根据图象解答下列问题: 1 说出 y=f(x)的单调区间,以及在各单调区间上的单调性; ○ 2 指出图象的最高点或最低点,并说明它能体现函数的什么特征? ○ (1) f ( x) ? ?2 x ? 3 (2) f ( x) ? ?2 x ? 3 x ?[?1,2] (3) f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 1 (4) f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 1 x ? [?2,2] 二、新课教学 (一)函数最大(小)值定义 1.最大值 一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足: (1)对于任意的 x∈I,都有 f(x)≤M; (2)存在 x0∈I,使得 f(x0) = M 那么,称 M 是函数 y=f(x)的最大值(Maximum Value). 思考:仿照函数最大值的定义,给出函数 y=f(x)的最小值(Minimum Value)的定义.(学 生活动) 注意: 1 函数最大(小)首先应该是某一个函数值,即存在 x0∈I,使得 f(x0) = M; ○ 2 函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的,即对于任意的 x∈I,都有 f(x)≤M ○ (f(x)≥M). 2.利用函数单调性的判断函数的最大(小)值的方法 1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 ○ 2 利用图象求函数的最大(小)值 ○ 3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值 ○ 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数 y=f(x)在 x=b 处有 最大值 f(b); 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数 y=f(x)在 x=b 处有 最小值 f(b); (二)典型例题 例 1.(教材 P36 例 3)利用二次函数的性质确定函数的最大(小)值. 解:(略) 说明:对于具有实际背景的问题,首先要仔细审清题意,适当设出变量,建立适当的函数模 型,然后利用二次函数的性质或利用图象确定函数的最大(小)值. 巩固练习:如图,把截面半径为 25cm 的圆形木头锯成矩形木料, 如果矩形一边长为 x,面积为 y 25 试将 y 表示成 x 的函数,并画出 函数的大致图象,并判断怎样锯 才能使得截面面积最大? 例 2.(新题讲解)
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旅 馆 定 价 一个星级旅馆有 150 个标准房, 经过一段时间的经营, 经理得到一些定价和住房率的数 据如下: 房价(元) 160 140 120 住房率(%) 55 65 75

100 85 欲使每天的的营业额最高,应如何定价? 解:根据已知数据,可假设该客房的最高价为 160 元,并假设在各价位之间,房价与住 房率之间存在线性关系. 设 y 为旅馆一天的客房总收入, x 为与房价 160 相比降低的房价,因此当房价为

(160 ? x) 元时,住房率为 (55 ?

x ?10)% ,于是得 20 x y =150· (160 ? x) · (55 ? ?10)% . 20 x ?10)% ≤1,可知 0≤ x ≤90. 由于 (55 ? 20 因此问题转化为:当 0≤ x ≤90 时,求 y 的最大值的问题. 将 y 的两边同除以一个常数 0.75,得 y 1=- x 2+50 x +17600. 由于二次函数 y 1 在 x =25 时取得最大值,可知 y 也在 x =25 时取得最大值,此时房价

定位应是 160-25=135(元),相应的住房率为 67.5%,最大住房总收入为 13668.75(元). 所以该客房定价应为 135 元.(当然为了便于管理,定价 140 元也是比较合理的) 例 3.(教材 P37 例 4)求函数 y ?

2 在区间[2,6]上的最大值和最小值. x ?1

解:(略) 注意:利用函数的单调性求函数的最大(小)值的方法与格式. 巩固练习:(教材 P38 练习 4) 三、归纳小结,强化思想 函数的单调性一般是先根据图象判断,再利用定义证明.画函数图象通常借助计算机,求函 数的单调区间时必须要注意函数的定义域,单调性的证明一般分五步: 取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论 四、作业布置 4. 书面作业:课本 P45 习题 1.3(A 组) 第 6、7、8 题. 提高作业:快艇和轮船分别从 A 地和 C 地同时开出,如下图,各沿箭头方向航行,快艇 和轮船的速度分别是 45 km/h 和 15 km/h,已知 AC=150km,经过多少时间后,快艇和轮 船之间的距离最短? B C D A

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课题:§2.1.1 指数
教学目的:(1)掌握根式的概念; (2)规定分数指数幂的意义; (3)学会根式与分数指数幂之间的相互转化; (4)理解有理指数幂的含义及其运算性质; (5)了解无理数指数幂的意义 教学重点:分数指数幂的意义,根式与分数指数幂之间的相互转化,有理指数幂的运算性质 教学难点:根式的概念,根式与分数指数幂之间的相互转化,了解无理数指数幂. 教学过程: 一、引入课题 1. 以折纸问题引入,激发学生的求知欲望和学习指数概念的积极性 2. 由实例引入,了解指数指数概念提出的背景,体会引入指数的必要性; 3. 复习初中整数指数幂的运算性质;

a m ? a n ? a m?n ( a m ) n ? a mn ( ab) n ? a n b n
4. 初中根式的概念; 如果一个数的平方等于 a,那么这个数叫做 a 的平方根,如果一个数的立方等于 a,那 么这个数叫做 a 的立方根; 二、新课教学 (一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念 一般地,如果 x ? a ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根(n th root),其中 n >1,且 n ∈ N .
n
*

当 n 是奇数时,正数的 n 次方根是一个正数,负数的 n 次方根是一个负数.此时, a 的 n 次 方根用符号 n a 表示. 式子 n a 叫做根式( radical),这里 n 叫做根指数( radical exponent), a 叫做被开方数 (radicand). 当 n 是偶数时,正数的 n 次方根有两个,这两个数互为相反数.此时,正数 a 的正的 n 次方 根用符号 n a 表示,负的 n 次方根用符号- n a 表示.正的 n 次方根与负的 n 次方根可以合并成 ± n a ( a >0). 由此可得:负数没有偶次方根;0 的任何次方根都是 0,记作 n 0 ? 0 . 思考:(课本 P58 探究问题) n a n = a 一定成立吗?.(学生活动) 结论:当 n 是奇数时, n a n ? a 当 n 是偶数时, a ?| a |? ?
n n

?a (a ? 0) ?? a (a ? 0)

例 1.(教材 P58 例 1). 解:(略) 巩固练习:(教材 P58 例 1) 2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义
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规定:

a ? n a m (a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)
a
? m n

m n

?

1 a
m n

?

1
n

a

m

(a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)

0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 指出:规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整 数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂. 3.有理指数幂的运算性质 (1) a · a ? a
r r r ?s

(a ? 0, r , s ? Q) ; (a ? 0, r , s ? Q) ; (a ? 0, b ? 0, r ? Q) .

(2) (a r ) s ? a rs (3) (ab) r ? a r a s

引导学生解决本课开头实例问题 例 2.(教材 P60 例 2、例 3、例 4、例 5) 说明:让学生熟练掌握根式与分数指数幂的互化和有理指数幂的运算性质运用. 巩固练习:(教材 P63 练习 1-3) 4. 无理指数幂 结合教材 P62 实例利用逼近的思想理解无理指数幂的意义. 指出:一般地,无理数指数幂 a? (a ? 0, ?是无理数 ) 是一个确定的实数.有理数指数幂的 运算性质同样适用于无理数指数幂. 思考:(教材 P63 练习 4) 巩固练习思考::(教材 P62 思考题) 例 3.(新题讲解)从盛满 1 升纯酒精的容器中倒出

1 1 升,然后用水填满,再倒出 升,又 3 3

用水填满,这样进行 5 次,则容器中剩下的纯酒精的升数为多少? 解:(略) 点评:本题还可以进一步推广,说明可以用指数的运算来解决生活中的实际问题. 三、归纳小结,强化思想 本节主要学习了根式与分数指数幂以及指数幂的运算,分数指数幂是根式的另一种表示形 式,根式与分数指数幂可以进行互化.在进行指数幂的运算时,一般地,化指数为正指数,化根 式为分数指数幂,化小数为分数进行运算,便于进行乘除、乘方、开方运算,以达到化繁为简的 目的,对含有指数式或根式的乘除运算,还要善于利用幂的运算法则. 四、作业布置 5. 必做题:教材 P69 习题 2.1(A 组) 第 1-4 题. 6. 选做题:教材 P70 习题 2.1(B 组) 第 2 题.

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课题:§2.1.2 指数函数及其性质
教学任务: (1)使学生了解指数函数模型的实际背景,认识数学与现实生活及其他学科的联系; (2)理解指数函数的的概念和意义,能画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函 数的单调性和特殊点; (3) 在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法, 如具体到一般的过程、 数形结合的方法等. 教学重点:指数函数的的概念和性质. 教学难点:用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质. 教学过程: 一、引入课题 (备选引例) 1.(合作讨论)人口问题是全球性问题,由于全球人口迅猛增加,已引起全世界关注.世界 人口 2000 年大约是 60 亿,而且以每年 1.3%的增长率增长,按照这种增长速度,到 2050 年 世界人口将达到 100 多亿,大有“人口爆炸”的趋势.为此,全球范围内敲起了人口警钟, 并把每年的 7 月 11 日定为“世界人口日”,呼吁各国要控制人口增长.为了控制人口过快 增长,许多国家都实行了计划生育. 我国人口问题更为突出,在耕地面积只占世界 7%的国土上,却养育着 22%的世界 人口.因此,中国的人口问题是公认的社会问题.2000 年第五次人口普查,中国人口 已达到 13 亿,年增长率约为 1%.为了有效地控制人口过快增长,实行计划生育成为我 国一项基本国策. 1 按照上述材料中的 1%的增长率,从 2000 年起,x 年后我国的人口将达到 2000 ○ 年的多少倍? 2 到 2050 年我国的人口将达到多少? ○ 3 你认为人口的过快增长会给社会的发展带来什么样的影响? ○ 2.上一节中 GDP 问题中时间 x 与 GDP 值 y 的对应关系 y=1.073x(x∈N*,x≤20)能否构成 函数? 3.一种放射性物质不断变化成其他物质,每经过一年的残留量是原来的 84%,那么以时间 x 年为自变量,残留量 y 的函数关系式是什么? 4.上面的几个函数有什么共同特征? 二、新课教学 (一)指数函数的概念 一般地,函数 y ? a x (a ? 0, 且a ? 1) 叫做指数函数(exponential function),其中 x 是自变 量,函数的定义域为 R. 1 指数函数的定义是一个形式定义,要引导学生辨析; 注意:○ 2 注意指数函数的底数的取值范围,引导学生分析底数为什么不能是负数、零和 1. ○ 巩固练习:利用指数函数的定义解决(教材 P68 例 2、3) (二)指数函数的图象和性质 问题:你能类比前面讨论函数性质时的思路,提出研究指数函数性质的内容和方法吗? 研究方法:画出函数的图象,结合图象研究函数的性质. 研究内容:定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶性. 探索研究: 1.在同一坐标系中画出下列函数的图象:

1 x 3 1 x (2) y ? ( ) 2 x (3) y ? 2
(1) y ? ( )
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(4) y ? 3x (5) y ? 5 x 2. 从画出的图象中你能发现函数 y ? 2 x 的图象和函数 y ? ( ) 的图象有什么关系?可否利
x

1 2

用 y ? 2 x 的图象画出 y ? ( ) 的图象?
x

1 2

3.从画出的图象( y ? 2 x 、 y ? 3x 和 y ? 5 x )中,你能发现函数的图象与其底数之间有什 么样的规律? 4.你能根据指数函数的图象的特征归纳出指数函数的性质吗? 图象特征 函数性质

a ?1

0 ? a ?1

a ?1

0 ? a ?1
函数的定义域为 R 非奇非偶函数 函数的值域为 R+

向 x、y 轴正负方向无限延伸 图象关于原点和 y 轴不对称 函数图象都在 x 轴上方 函数图象都过定点(0,1) 自左向右看, 图象逐渐上升 在第一象限内的图象纵 坐标都大于 1 在第二象限内的图象纵 坐标都小于 1 图象上升趋势是越来越 陡 自左向右看, 图象逐渐下降 在第一象限内的图象纵 坐标都小于 1 在第二象限内的图象纵 坐标都大于 1 图象上升趋势是越来越 缓 增函数

a0 ? 1
减函数

x ? 0, a x ? 1 x ? 0, a x ? 1

x ? 0, a x ? 1 x ? 0, a x ? 1

函数值开始增长较慢, 函数值开始减小极快, 到了某一值后增长速度 到了某一值后减小速度 极快; 较慢; 5. 利用函数的单调性,结合图象还可以看出: (1)在[a,b]上, f (x) ? a x (a ? 0且a ? 1) 值域是 [f (a ), f (b)] 或 [f (b), f (a )] ; (2)若 x ? 0 ,则 f ( x ) ? 1 ; f ( x ) 取遍所有正数当且仅当 x ? R ; (3)对于指数函数 f (x) ? a x (a ? 0且a ? 1) ,总有 f (1) ? a ; (4)当 a ? 1 时,若 x1 ? x 2 ,则 f ( x 1 ) ? f (x 2 ) ; (三)典型例题 例 1.(教材 P66 例 6).解:(略) 问题:你能根据本例说出确定一个指数函数需要几个条件吗? 例 2.(教材 P66 例 7)解:(略) 问题:你能根据本例说明怎样利用指数函数的性质判断两个幂的大小? 说明:规范利用指数函数的性质判断两个幂的大小方法、步骤与格式. 巩固练习:(教材 P69 习题 A 组第 7 题) 三、归纳小结,强化思想 本节主要学习了指数函数的图象,及利用图象研究函数性质的方法. 四、作业布置 7. 必做题:教材 P69 习题 2.1(A 组) 第 5、6、8、12 题. 8. 选做题:教材 P70 习题 2.1(B 组) 第 1 题.

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课题:§2.2.1 对数
教学目的:(1)理解对数的概念; (2)能够说明对数与指数的关系; (3)掌握对数式与指数式的相互转化. 教学重点:对数的概念,对数式与指数式的相互转化 教学难点:对数概念的理解. 教学过程: 一、引入课题 1.(对数的起源)价绍对数产生的历史背景与概念的形成过程,体会引入对数的必要性; 设计意图:激发学生学习对数的兴趣,培养对数学习的科学研究精神. 2.尝试解决本小节开始提出的问题. 二、新课教学 1.对数的概念 一般地,如果 a ? N (a ? 0, a ? 1) ,那么数 x 叫做以 .a 为底 ..N 的对数(Logarithm),记作:
x

x ? loga N

a — 底数, N — 真数, loga N — 对数式
1 注意底数的限制 a ? 0 ,且 a ? 1 ; 说明:○ 2 ○ a x ? N ? loga N ? x ; 3 注意对数的书写格式. ○ a 1 思考:○ 为什么对数的定义中要求底数 a ? 0 ,且 a ? 1 ; 2 是否是所有的实数都有对数呢? ○ 设计意图:正确理解对数定义中底数的限制,为以后对数型函数定义域的确定作准备. 两个重要对数: 1 常用对数(common logarithm):以 10 为底的对数 lg N ; ○ 2 自然对数(natural logarithm):以无理数 e ? 2.71828 ? 为底的对数的对数 ln N . ○ 2. 对数式与指数式的互化

log N

loga N ? x

?

ax ? N

对数式 指数式 ? 对数底数 ← a → 幂底数 对数 ← x → 指数 真数 ← N → 幂 例 1.(教材 P73 例 1) 巩固练习:(教材 P74 练习 1、2) 设计意图:熟练对数式与指数式的相互转化,加深理解对数概念. 说明: 本例题和练习均让学生独立阅读思考完成, 并指出对数式与指数式的互化中应注意哪 些问题.
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3. 对数的性质 (学生活动) 1 阅读教材 P73 例 2,指出其中求 x 的依据; ○ 2 独立思考完成教材 P74 练习 3、4,指出其中蕴含的结论 ○ 对数的性质 (1)负数和零没有对数; (2)1 的对数是零: loga 1 ? 0 ; (3)底数的对数是 1: loga a ? 1 ; (4)对数恒等式: a (5) loga a n ? n . 三、归纳小结,强化思想
1 引入对数的必要性; ○ 2 指数与对数的关系; ○ 3 对数的基本性质. ○ 四、作业布置
loga N

?N;

教材 P86 习题 2.2(A 组) 第 1、2 题,(B 组) 第 1 题.

22

课题:§2.2.2 对数函数(一)
教学任务:(1)通过具体实例,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数 的概念,体会对数函数是一类重要的函数模型; (2)能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调 性与特殊点; (3)通过比较、对照的方法,引导学生结合图象类比指数函数,探索研究对数函数的 性质,培养学生数形结合的思想方法,学会研究函数性质的方法. 教学重点:掌握对数函数的图象和性质. 教学难点:对数函数的定义,对数函数的图象和性质及应用. 教学过程: 一、引入课题 1.(知识方法准备) 1 学习指数函数时,对其性质研究了哪些内容,采取怎样的方法? ○ 设计意图:结合指数函数,让学生熟知对于函数性质的研究内容,熟练研究函数性质的方法 ——借助图象研究性质. 2 对数的定义及其对底数的限制. ○ 设计意图:为讲解对数函数时对底数的限制做准备. 2.(引例) 教材 P81 引例 处理建议:在教学时,可以让学生利用计算器填写下表: 碳 14 的含量 P 生物死亡年数 t 然后引导学生观察上表,体会“对每一个碳 14 的含量 P 的取值,通过对应关系 t ? log P ,生物死亡年数 t 都有唯一的值与之对应,从而 t 是 P 的函数” .(进而引 1
5730 2

0.5

0.3

0.1

0.01

0.001

入对数函数的概念) 二、新课教学 (一)对数函数的概念 1.定义:函数 y ? loga x(a ? 0 ,且 a ? 1) 叫做对数函数(logarithmic function) 其中 x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞).
1 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别.如: y ? 2 log x , 注意:○ 2

y ? log 5

x 都不是对数函数,而只能称其为对数型函数. 5 2 对数函数对底数的限制: ( a ? 0 ,且 a ? 1) . ○

巩固练习:(教材 P68 例 2、3) (二)对数函数的图象和性质 问题:你能类比前面讨论指数函数性质的思路,提出研究对数函数性质的内容和方法吗? 研究方法: 画出函数的图象, 结合图象研究函数的性质. 研究内容:定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小) 值、奇偶性. 探索研究: 1 在同一坐标系中画出下列对数函数的图象; ○ (可 用描点法,也可借助科学计算器或计算机) (1) y ? log2 x

23

(2) y ? log 1 x
2

(3) y ? log3 x (4) y ? log1 x
3
2 类比指数函数图象和性质的研究,研究对数函数的性质并填写如下表格: ○

图象特征

函数性质

a ?1

0 ? a ?1

a ?1

0 ? a ?1
非奇非偶函数 函数的值域为 R

函数图象都在 y 轴右侧 图象关于原点和 y 轴不对称 向 y 轴正负方向无限延伸 函数图象都过定点(1,1) 自左向右看, 图象逐渐上升 第一象限的图象 纵坐标都大于 0 第二象限的图象 纵坐标都小于 0 自左向右看, 图象逐渐下降 第一象限的图象 纵坐标都大于 0 第二象限的图象 纵坐标都小于 0

函数的定义域为(0,+∞)

1? ? 1
增函数 减函数

x ? 1, loga x ? 0
0 ? x ? 1, loga x ? 0

0 ? x ? 1, loga x ? 0
x ? 1, loga x ? 0

3 思考底数 a 是如何影响函数 y ? log x 的.(学生独立思考,师生共同总结) ○ a

规律:在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大. (三)典型例题 例 1.(教材 P83 例 7). 解:(略) 说明:本例主要考察学生对对数函数定义中底数和定义域的限制,加深对对数函数的理解. 巩固练习:(教材 P85 练习 2). 例 2.(教材 P83 例 8) 解:(略) 说明:本例主要考察学生利用对数函数的单调性“比较两个数的大小”的方法,熟悉对数函 数的性质,渗透应用函数的观点解决问题的思想方法. 注意: 本例应着重强调利用对数函数的单调性比较两个对数值的大小的方法, 规范解题格式. 巩固练习:(教材 P85 练习 3). 例 2.(教材 P83 例 9) 解:(略) 说明:本例主要考察学生对实际问题题意的理解,把具体的实际问题化归为数学问题. 注意:本例在教学中,还应特别启发学生用所获得的结果去解释实际现象. 巩固练习:(教材 P86 习题 2.2 A 组第 6 题). 三、归纳小结,强化思想 本小节的目的要求是掌握对数函数的概念、图象和性质.在理解对数函数的定义的基础上, 掌握对数函数的图象和性质是本小节的重点. 四、作业布置 1. 必做题:教材 P86 习题 2.2(A 组) 第 7、8、9、12 题. 2. 选做题:教材 P86 习题 2.2(B 组) 第 5 题.

24

课题:§2.2.2 对数函数(二)
教学任务:(1)进一步理解对数函数的图象和性质; (2)熟练应用对数函数的图象和性质,解决一些综合问题; (3)通过例题和练习的讲解与演练,培养学生分析问题和解决问题的能力.
教学重点:对数函数的图象和性质.

教学难点:对对数函数的性质的综合运用. 教学过程: 一、回顾与总结 1. 函数 回答下列问题.

y ? log2 x, y ? log5 x, y ? lg x 的图象如图所示,
1 ○

(1)说明哪个函数对应于哪个图象,并解释为什么? (2)函数 y ? loga x 与 y ? log1 x
a
3 2 ○

(a ? 0, 且 a ? 0) 有什么关系?图象之间 又有什么特殊的关系?
( 3 ) 以 y ? log2 x, y ? log5 x, y ? lg x 的 图 象 为 基 础 , 在 同 一 坐 标 系 中 画 出

y ? log1 x, y ? log1 x, y ? log 1 x 的图象.
2 5 10

(4) 已知函数 y ? loga1 x, y ? loga2 x, y ? loga3 x, y ? loga4 x 的 图象,则底数之间的关系: .

y ? loga 1 x y ? loga 2 x

y ? loga 3 x y ? loga 4 x
a ?1

完成下表(对数函数 y ? loga x (a ? 0, 且 a ? 0) 的图象和性 质)

0 ? a ?1
图 象

定义域 值域 性 质 2.根据对数函数的图象和性质填空. ①已知函数 y ? log2 x , 则当 x ? 0 时,y ? 时, y ? ;当 x ? 4 时, y ? ② 已知函数 y ? log1 x , 则当 0 ? x ? 1 时,y ?
3

; 当 x ? 1 时,y ? . ; 当 x ? 1 时,y ?

; 当0 ? x ? 1 ; 当x ? 5

25

时, y ? 二、应用举例

;当 0 ? x ? 2 时, y ?

;当 y ? 2 时, x ?



1 log ? , log e ( a ? 0, 且 a ? 0) ; 例1. 比较大小:○ a a 2 log ○ 2

1 , log2 (a 2 ? a ? 1) (a ? R) . 2
解:(略)

解:(略) 例 2.已知 loga (3a ? 1) 恒为正数,求 a 的取值范围. [总结点评]:(由学生独立思考,师生共同归纳概括). . 例 3.求函数 f ( x) ? lg(? x 2 ? 8x ? 7) 的定义域及值域. 注意:函数值域的求法. 例 4.(1)函数 y ? loga x 在[2,4]上的最大值比最小值大 1,求 a 的值; (2)求函数 y ? log3 ( x 2 ? 6x ? 10) 的最小值. 解:(略) 注意:利用函数单调性求函数最值的方法,复合函数最值的求法. 例 5.(2003 年上海高考题)已知函数 f ( x ) ? 解:(略)

1 1? x ? log 2 ,求函数 f ( x) 的定义域,并 x 1? x

讨论它的奇偶性和单调性. 解:(略) 注意:判断函数奇偶性和单调性的方法,规范判断函数奇偶性和单调性的步骤. 例 6.求函数 f ( x) y ? log0.2 (? x 2 ? 4x ? 5) 的单调区间. 解:(略) 注意:复合函数单调性的求法及规律:“同增异减”. 练习:求函数 y ? log1 (3 ? 2 x ? x 2 ) 的单调区间.
2

三、作业布置 考试卷一套

26

课题:§2.2.2 对数函数(三)
教学目标: 知识与技能 理解指数函数与对数函数的依赖关系, 了解反函数的概念, 加深对函数的模型 化思想的理解. 过程与方法 通过作图,体会两种函数的单调性的异同. 情感、态度、价值观 对体会指数函数与对数函数内在的对称统一. 教学重点: 重点 难两种函数的内在联系,反函数的概念. 难点 反函数的概念. 教学程序与环节设计: 创设情境 由函数的观点分析例题,引出反函数的概念.

组织探究

两种函数的内在联系,图象关系.

尝试练习

简单的反函数问题,单调性问题.

巩固反思

从宏观性、关联性角度试着给指数函数、对 数函数的定义、图象、性质作一小结. 简单的反函数问题,单调性问题.

作业回馈

课外活动

互为反函数的函数图象的关系.

27

教学过程与操作设计: 环节 材料一: 当生物死亡后, 它机体内原有的碳 14 会按确定的 规律衰减,大约每经过 5730 年衰减为原来的一半,这 个时间称为“半衰期”.根据些规律,人们获得了生 物体碳 14 含量 P 与生物死亡年数 t 之间的关系.回答 下列问题: 呈现教学材料 师生互动设计 生:独立思考完成,讨 论展示并分析自己的结 果. 师: 引导学生分析归纳, 总结概括得出结论: (1)P 和 t 之间的对应 关系是一一对应; (2)P 关于 t 是指数函

(1) 求生物死亡 t 年后它机体内的碳 14 的含量 P, 数 P ? (5730 1 ) x ; 并用函数的观点来解释 P 和 t 之间的关系,指出是我 们所学过的何种函数? (2)已知一生物体内碳 14 的残留量为 P,试求该 创 生物死亡的年数 t,并用函数的观点来解释 P 和 t 之间 的关系,指出是我们所学过的何种函数? 设 (3)这两个函数有什么特殊的关系? (4)用映射的观点来解释 P 和 t 之间的对应关系 情 是何种对应关系? (5)由此你能获得怎样的启示? 境 材料二: 由对数函数的定义可知,对数函数 y ? log2 x 是 把指数函数 y ? 2 x 中的自变量与因变量对调位置而得 出的,在列表画 y ? log2 x 的图象时,也是把指数函 数 y ? 2 的对应值表里的 x 和 y 的数值对换,而得到
x

2

t 关于 P 是对数函数

t ? log
5730

1 2

x ,它们的

底数相同,所描述的都 是碳 14 的衰变过程中, 碳 14 含量 P 与死亡年数 t 之间的对应关系; (3) 本问题中的同底数 的指数函数和对数函 数,是描述同一种关系 (碳 14 含量 P 与死亡年 数 t 之间的对应关系) 的不同数学模型.

对数函数 y ? log2 x 的对应值表,如下:

表一

y ? 2x .

28

环节

呈现教学材料

师生互动设计 生:仿照材料一分析: 1 2 2 4 3 8 ? ?

x
y

? ?

-3

-2

-1

0 1

1 8

1 4

1 2

y ? 2 x 与 y ? log2 x 的
关系.

表二

y ? log2 x .
? -3 -2 -1 0 1 2 2 4 3 8 ? ? 师:引导学生分析,讲 评得出结论,进而引出 反函数的概念.

在 1 1 1 y ? 同 1 8 4 2 一 坐标系中,用描点法画出图象.

x

组织探 究

材料一:反函数的概念: 当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因 变量作为一个新的函数的自变量,而把这个函数的自 变量作为新的函数的因变量,我们称这两个函数互为 反函数. 由反函数的概念可知,同底数的指数函数和对数 函数互为反函数. 材料二:以 y ? 2 x 与 y ? log2 x 为例研究互为反 函数的两个函数的图象和性质有什么特殊的联系?

师:说明: (1) 互为反函数的两个 函数是定义域、值域相 互交换,对应法则互逆 的两个函数; (2) 由反函数的概念可 知“单调函数一定有反 函数”; (3) 互为反函数的两个 函数是描述同一变化过 程中两个变量关系的不 同数学模型. 师:引导学生探索研究 材料二. 生:分组讨论材料二, 选出代表阐述各自的结 论, 师生共同评析归纳.

尝试练 习 巩固反 思

求下列函数的反函数: (1) y ? 3 x ; (2) y ? log6 x 生:独立完成.

从宏观性、关联性角度试着给指数函数、对数函 数的定义、图象、性质作一小结.

作业反 馈

1. 求下列函数的反函数:

x
y

1 3

2 5

3 7

4 9

29

环节

呈现教学材料

师生互动设计 3 4

x
y

1

2

答案: 3 5 7 9 2.(1)试着举几个满足“对定义域内任意实数 1.互换 x 、 y 的数值. a、b,都有 f (a·b) = f ( a ) + f ( b ) .”的函数实例, 2.略. 你能说出这些函数具有哪些共同性质吗? (2)试着举几个满足“对定义域内任意实数 a、 b,都有 f (a + b) = f ( a )·f ( b ) .”的函数实例,你 能说出这些函数具有哪些共同性质吗? 我们知道,指数函数 y ? a x (a ? 0 ,且 a ? 1) 与 对数函数 y ? loga x(a ? 0 ,且 a ? 1) 互为反函数, 那 么, 它们的图象有什么关系呢?运用所学的数学知识, 探索下面几个问题,亲自发现其中的奥秘吧! 问题 1 在同一平面直角坐标系中,画出指数函 数 y ? 2 x 及其反函数 y ? log2 x 的图象,你能发现这 两个函数的图象有什么特殊的对称性吗? 问题 2 取 y ? 2 x 图象上的几个点,说出它们关 课外活 动 于直线 y ? x 的对称点的坐标,并判断它们是否在 结论: 互为反函数的两个 函数的图象关于直线 y ? x 对称.

y ? log2 x 的图象上,为什么?
问题 3 如果 P0(x0,y0)在函数 y ? 2 x 的图象 上 , 那 么 P0 关 于 直 线 y ? x 的 对 称 点 在 函 数

y ? log2 x 的图象上吗,为什么?
问题 4 由上述探究过程可以得到什么结论? 问题 5 上述结论对于指数函数 y ? a x

(a ? 0 ,且 a ? 1) 及其反函数 y ? loga x(a ? 0 ,
且 a ? 1) 也成立吗?为什么?

30

课题:§2.3 幂函数
教学目标: 知识与技能 通过具体实例了解幂函数的图象和性质,并能进行简单的应用. 过程与方法 能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法,来研究幂函数的 图象和性质. 情感、态度、价值观 体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性.
教学重点: 重点 难点 从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质. 画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质,体会图象的变化规律.

教学程序与环节设计:

创设情境

问题引入.

组织探究

幂函数的图象和性质.

尝试练习

幂函数性质的初步应用.

巩固反思

复述幂函数的图象规律及性质.

作业回馈

幂函数性质的初步应用.

课外活动

利用图形计算器或计算机探索一 般幂函数的图象规律.

31

教学过程与操作设计: 环节 教学内容设计 阅读教材 P90 的具体实例(1)~(5),思考下列 问题: 创 设 (答案) 情 境 1.(1)乘以 1;(2)求平方;(3)求立方; 师生: 共同辨析这种新 函数与指数函数的异 (4)开方;(5)取倒数(或求-1 次方). 同. ? 2.上述问题中涉及到的函数,都是形如 y ? x 的函数,其中 x 是自变量,是 ? 常数. 材料一:幂函数定义及其图象. 一般地,形如 师:说明: 幂 函 数 的 定义 来 自于实践, 它同指数函 数、对数函数一样,也 是基本初等函数, 同样 也是一种“形式定义” 的函数, 引导学生注意 辨析. 生: 利用所学知识和方 法尝试作出五个具体 幂函数的图象, 观察所 图象, 体会幂函数的变 化规律. 1.它们的对应法则分别是什么? 2.以上问题中的函数有什么共同特征? 师: 引导学生分析归纳 概括得出结论. 师生双边互动 生:独立思考完成引 例.

y ? x ? ( a ? R)
的函数称为幂函数,其中 ? 为常数. 下面我们举例学习这类函数的一些性质. 作出下列函数的图象: 组
1

(1) y ? x ;(2) y ? x 2 ;(3) y ? x 2 ; (4) y ? x ?1 ;(5) y ? x 3 .


1 列表(略) [解] ○ 2 图象 ○





师: 引导学生应用画函 数的性质画图象,如: 定义域、奇偶性.

师生共同分析, 强调画 图象易犯的错误.

环节

教学内容设计

师生双边互动

32

材料二:幂函数性质归纳. (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并 且图象都过点(1,1); (2)? ? 0 时,幂函数的图象通过原点,并且 在区间 [0,??) 上是增函数.特别地,当 ? ? 1 时, 幂函数的图象下凸;当 0 ? ? ? 1时,幂函数的图象 上凸;

师:引导学生观察图 象, 归纳概括幂函数的 的性质及图象变化规 律.

生:观察图象,分组讨 论, 探究幂函数的性质 和图象的变化规律, 并 ? ? 0 时, (3) 幂函数的图象在区间 (0,??) 上 展示各自的结论进行 是减函数.在第一象限内,当 x 从右边趋向原点时, 交流评析,并填表. 图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴正半轴,当 x 趋于

? ? 时,图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴正半轴.
材料三:观察与思考 组 观察图象,总结填写下表:
1

织 定义域 探 值域 奇偶性 单调性 究 定点

y?x

y ? x2

y ? x3

y ? x2

y ? x ?1

材料五:例题 [例 1] (教材 P92 例题) [例 2] 比较下列两个代数值的大小: (1) (a ? 1) , a
1.5
1 .5

师: 引导学生回顾讨论 函数性质的方法, 规范 解题格式与步骤. 并指出函数单调 性是判别大小的重要 工具, 幂函数的图象可 以在单调性、 奇偶性基 础上较快描出.

(2) (2 ? a )
2

?

2 3

,2

?

2 3

2

[例 3] 讨论函数 y ? x 3 的定义域、奇偶性,作 出它的图象,并根据图象说明函数的单调性.

生:独立思考,给出解 答,共同讨论、评析.

环节

呈现教学材料

师生互动设计

33

1.利用幂函数的性质,比较下列各题中两个幂 的值的大小:
3
3

(1) 2.3 4 , 2.4 4 ; (2) 0.31 , 0.35 ; (3) ( 2 ) 尝 试 练 习
? 1 2 6 5
6 5

?

3 2

, ( 3)
? 1

?

3 2



(4) 1.1 , 0.9 2 .
3

2.作出函数 y ? x 2 的图象,根据图象讨论这 个函数有哪些性质,并给出证明. 3.作出函数 y ? x ?2 和函数 y ? ( x ? 3) ?2 的图 象,求这两个函数的定义域和单调区间. 4.用图象法解方程: (1) x ? x ? 1 ; (2) x ? x ? 3 .
3 2

规律 1:在第一象限, 1.如图所示,曲线是幂 函数 y ? x ? 在第一象限内的 图 象 , 已 知 探 究 与 发 现 作直线 x ? a(a ? 1) , 它同各幂函数图象相 交, 按交点从下到上的 顺序, 幂指数按从小到 大的顺序排列. 2.在同一坐标系内,作出下列函数的图象,你 能发现什么规律? (1) y ? x
?3

? 分别取

1 ? 1,1, ,2 四个值,则相应图 2
象依次为: .

和y?x

?

1 3



规律 2:幂指数互为倒 数的幂函数在第一象 限内的图象关于直线

(2) y ? x 和 y ? x .

5 4

4 5

y ? x 对称.
1.在函数 y ? 作业 回馈

1 , y ? 2 x 2 , y ? x 2 ? x, y ? 1 2 x
C.2 D.3

中,幂函数的个数为: A.0 B.1

34

环节

呈现教学材料 2.已知幂函数 y ? f ( x) 的图象过点 (2, 2 ) , 试求出这个函数的解析式. 3.在固定压力差(压力差为常数)下,当气体 通过圆形管道时,其流量速率 R 与管道半径 r 的四 次方成正比. (1)写出函数解析式; (2)若气体在半径为 3cm 的管道中,流量速 率为 400cm3/s,求该气体通过半径为 r 的管道时, 其流量速率 R 的表达式; (3) 已知 (2) 中的气体通过的管道半径为 5cm, 计算该气体的流量速率. 4.1992 年底世界人口达到 54.8 亿,若人口 的平均增长率为 x%, 2008 年底世界人口数为 ( y 亿) , 写出: (1)1993 年底、1994 年底、2000 年底的世界 人口数; (2)2008 年底的世界人口数 y 与 x 的函数解 析式.

师生互动设计

课 外 活 动 收 获 与 体 会

利用图形计算器探索一般幂函数 y ? x ? 的图 象随 ? 的变化规律. 1. 谈谈五个基本幂函数的定义域与对应幂函数 的奇偶性、单调性之间的关系? 2. 幂函数与指数函数的不同点主要表现在哪些 方面?

35

课题:§3.1.1 方程的根与函数的零点
教学目标: 知识与技能 理解函数(结合二次函数)零点的概念,领会函数零点与相应方程要的关系, 掌握零点存在的判定条件. 过程与方法 零点存在性的判定. 情感、态度、价值观 在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值. 教学重点: 重点 零点的概念及存在性的判定. 难点 零点的确定. 教学程序与环节设计: 创设情境 结合二次函数引入课题.

组织探究

二次函数的零点及零点存在性的.

尝试练习

零点存在性为练习重点.

探索研究

进一步探索函数零点存在性的判定.

作业回馈

重点放在零点的存在性判断及零点的确定上. 研究二次函数在零点、零点之内及零点外的函数值符 号,并尝试进行系统的总结.

课外活动

36

教学过程与操作设计: 环节 教学内容设置 先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相 应的二次函数的图象: 创 设 情 境
2 1 方程 x ? 2 x ? 3 ? 0 与函数 y ? x ? 2 x ? 3 ○
2

师生双边互动 师:引导学生解方程, 画函数图象,分析方程 的根与图象和 x 轴交点 坐标的关系,引出零点 的概念. 生: 独立思考完成解答, 观察、思考、总结、概 括得出结论,并进行交 流. 师:上述结论推广到一 般的一元二次方程和二 次函数又怎样?

2 2 方程 x ? 2 x ? 1 ? 0 与函数 y ? x ? 2 x ? 1 ○
2

2 3 方程 x ? 2 x ? 3 ? 0 与函数 y ? x ? 2 x ? 3 ○
2

函数零点的概念: 对于函数 y ? f ( x)(x ? D) , 把使 f ( x) ? 0 成立 的实数 x 叫做函数 y ? f ( x)(x ? D) 的零点. 师:引导学生仔细体会 左边的这段文字,感悟 其中的思想方法.

函数零点的意义: 函数 y ? f ( x) 的零点就是方程 f ( x) ? 0 实数 根,亦即函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴交点的横坐标. 组 生:认真理解函数零点 方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f ( x) 的图 的意义,并根据函数零 点的意义探索其求法: 象与 x 轴有交点 ? 函数 y ? f ( x) 有零点. 1 ○ 代数法; 2 ○ 几何法. 函数零点的求法: 即: 求函数 y ? f ( x) 的零点: 1 (代数法)求方程 f ( x ) ? 0 的实数根; ○ 2 (几何法)对于不能用求根公式的方程,可 ○ 以将它与函数 y ? f ( x) 的图象联系起来,并利用函 数的性质找出零点. 二次函数的零点: 二次函数 师:引导学生运用函数 零点的意义探索二次函 数零点的情况.







y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) .
1)△>0,方程 ax ? bx ? c ? 0 有两不等
2

37

环节

教学内容设置 实根,二次函数的图象与 x 轴有两个交点,二次 函数有两个零点. 2)△=0,方程 ax ? bx ? c ? 0 有两相等实
2

师生双边互动 生:根据函数零点的意 义探索研究二次函数的 零点情况, 并进行交流, 总结概括形成结论.

根(二重根),二次函数的图象与 x 轴有一个交 点,二次函数有一个二重零点或二阶零点. 3)△<0,方程 ax ? bx ? c ? 0 无实根,二
2

次函数的图象与 x 轴无交点,二次函数无零点. 零点存在性的探索: (Ⅰ)观察二次函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 的图 象:
1 在区间 [?2,1] 上有零点______; ○

生:分析函数,按提示 探索,完成解答,并认 真思考.



f (?2) ? _______, f (1) ? _______,
f (?2) · f (1) _____0(<或>).


2 在区间 [ 2,4] 上有零点______; ○

师:引导学生结合函数 图象,分析函数在区间 端点上的函数值的符号 情况,与函数零点是否 存在之间的关系.



f (2) · f (4) ____0(<或>).
(Ⅱ)观察下面函数 y ? f ( x) 的图象



生:结合函数图象,思 考、讨论、总结归纳得 出函数零点存在的条 件, 并进行交流、 评析.

1 在区间 [ a , b] 上______(有/无)零点; ○

师:引导学生理解函数 零点存在定理,分析其 中各条件的作用.

f (a ) · f (b) _____0(<或>). 2 在区间 [b, c ] 上______(有/无)零点; ○ f (b) · f (c) _____0(<或>). 3 在区间 [c, d ] 上______(有/无)零点; ○ f (c) · f ( d ) _____0(<或>).
由以上两步探索,你可以得出什么样的结论? 怎样利用函数零点存在性定理,断定函数在某给 定区间上是否存在零点.

38

环节

教学内容设置

师生互动设计

例 题 研 究

师:引导学生探索判断 函数零点的方法,指出 例 1.求函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 的零点个数. 可以借助计算机或计算 问题: 器来画函数的图象,结 1)你可以想到什么方法来判断函数零点个数? 合图象对函数有一个零 2)判断函数的单调性,由单调性你能得该函数 点形成直观的认识. 的单调性具有什么特性? 生:借助计算机或计算 器画出函数的图象,结 例 2.求函数 y ? x 3 ? 2 x 2 ? x ? 2 ,并画出它 合图象确定零点所在的 的大致图象. 区间,然后利用函数单 调性判断零点的个数. 1.利用函数图象判断下列方程有没有根,有几 个根: (1) ? x ? 3x ? 5 ? 0 ;
2

(2) 2 x( x ? 2) ? ?3 ; 尝 试 练 习 (3) x ? 4 x ? 4 ;
2

(4) 5x ? 2 x ? 3x ? 5 .
2 2

2.利用函数的图象,指出下列函数零点所在的 大致区间: (1) f ( x) ? ? x 3 ? 3x ? 5 ; (2) f ( x) ? 2 x ln(x ? 2) ? 3 ; (3) f ( x) ? e x?1 ? 4x ? 4 ; (4) f ( x) ? 3( x ? 2)(x ? 3)(x ? 4) ? x . 1.已知 f ( x) ? 2x ? 7 x ? 17x ? 58x ? 24 ,
4 3 2

师:结合图象考察零点 所在的大致区间与个 数,结合函数的单调性 说明零点的个数;让学 生认识到函数的图象及 基本性质(特别是单调 性)在确定函数零点中 的重要作用.

请探究方程 f ( x) ? 0 的根. 如果方程有根, 指出每个 根所在的区间(区间长度不超过 1). 探 究 与 发 现 2.设函数 f ( x) ? 2 ? ax ? 1 .
x

(1)利用计算机探求 a ? 2 和 a ? 3 时函数

f ( x) 的零点个数;
(2)当 a ? R 时,函数 f ( x) 的零点是怎样分布 的?

39

环节

教学内容设置 1. 教材 P108 习题 3.1(A 组)第 1、2 题; 2. 求下列函数的零点: (1) y ? x 2 ? 5x ? 4 ; (2) y ? ? x 2 ? x ? 20 ; (3) y ? ( x ? 1)(x 2 ? 3x ? 1) ; (4) f ( x) ? ( x 2 ? 2)(x 2 ? 3x ? 2) . 3. 求下列函数的零点,图象顶点的坐标,画出 各自的简图,并指出函数值在哪些区间上大 于零,哪些区间上小于零:

师生互动设计

作 业 回 馈

(1) y ?

1 2 x ? 2x ? 1; 3

(2) y ? ?2 x 2 ? 4 x ? 1 . 4. 已知 f ( x) ? 2(m ? 1) x 2 ? 4mx ? 2m ? 1 : (1) m 为何值时,函数的图象与 x 轴有两个零 点; (2)如果函数至少有一个零点在原点右侧,求 m 的值. 5. 求下列函数的定义域: (1) y ? (2) y ? (3) y ?

x2 ? 9 ; x 2 ? 3x ? 4 ; ? x 2 ? 4 x ? 12
2

课 外 活 动 收 获 与 体 会

研究 y ? ax2 ? bx ? c , ax ? bx ? c ? 0 ,

ax2 ? bx ? c ? 0 , ax2 ? bx ? c ? 0 的相互关系,以
零点作为研究出发点,并将研究结果尝试用一种系统 的、简洁的方式总结表达.

考虑列表,建议画出图 象帮助分析.

说说方程的根与函数的零点的关系, 并给出判定 方程在某个区产存在根的基本步骤.

40

课题:§3.1.2 用二分法求方程的近似解
教学目标: 知识与技能 通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件, 了解二分法是求方程近似解的 常用方法,从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用. 过程与方法 能借助计算器用二分法求方程的近似解, 并了解这一数学思想, 为学习算法做 准备. 情感、态度、价值观 体会数学逼近过程,感受精确与近似的相对统一. 教学重点: 重点 通过用二分法求方程的近似解,体会函数的零点与方程根之间的联系,初步形成用 函数观点处理问题的意识. 难点 恰当地使用信息技术工具,利用二分法求给定精确度的方程的近似解. 教学程序与环节设计: 创设情境 由二分查找及高次多项式方程的求问题引入.

组织探究

二分法的意义、算法思想及方法步骤.

探索发现

体会函数零点的意义,明确二分法的适用范围.

尝试练习

二分法的算法思想及方法步骤,初步应用二分法解 决简单问题. 二分法应用于实际. 1. 二分法为什么可以逼近零点的再分析; 2. 追寻阿贝尔和伽罗瓦.

作业回馈

课外活动

41

教学过程与操作设计: 环节 教学内容设计 材料一:二分查找(binary-search) (第六届全国青少年信息学(计算机)奥林匹 克分区联赛提高组初赛试题第 15 题) 某数列有 1000 个各不相同的单元,由低至高按序排列;现要对该 数列进行二分法检索(binary-search),在最坏的情况 下,需检索( )个单元。 A.1000 B.10 C.100 D.500 二分法检索(二分查找或折半查找)演示. 材料二:高次多项式方程公式解的探索史料 由于实际问题的需要,我们经常需要寻求函数 师:从高次代数方程的解 一次或二次函数,我们有熟知的公式解法(二次时, 的探索历程,引导学生认 称为求根公式). 识引入二分法的意义. 在十六世纪,已找到了三次和四次函数的求根 公式,但对于高于 4 次的函数,类似的努力却一直 没有成功,到了十九世纪,根据阿贝尔( Abel)和 伽罗瓦(Galois)的研究,人们认识到高于 4 次的代 数方程不存在求根公式,亦即,不存在用四则运算 及根号表示的一般的公式解.同时,即使对于 3 次 和 4 次的代数方程,其公式解的表示也相当复杂, 一般来讲并不适宜作具体计算.因此对于高次多项 式函数及其它的一些函数,有必要寻求其零点的近 似解的方法,这是一个在计算数学中十分重要的课 题. 二分法及步骤: 对 于 在 区 间 [a , b] 上 连 续 不 断 , 且 满 足 师:阐述二分法的逼近原 师生双边互动 师:从学生感兴趣的计算 机编程问题,引导学生分 析二分法的算法思想与 方法,引入课题.

生:体会二分查找的思想 与方法.

创 设 情 境

y ? f ( x) 的零点 (即 f ( x) ? 0 的根) , 对于 f ( x) 为

f (a ) · f (b) ? 0 的函数 y ? f ( x) ,通过不断地把 理,引导学生理解二分法 函数 f ( x) 的零点所在的区间一分为二, 使区间的两 的算法思想,明确二分法
组 织 探 究 个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法 叫做二分法. 给定精度 ? , 用二分法求函数 f ( x) 的零点近似 值的步骤如下: 1.确定区间 [a , b] ,验证 f ( a ) · f (b) ? 0 , 分析条件 给定精度 ? ; 2.求区间 (a , b) 的中点 x1 ; 3.计算 f ( x1 ) : “ f ( a ) · f (b) ? 0 ”、 “精度 ? ” 、 “区间中点” 及 “ | a ? b |? ? ” 的意义. 求函数近似零点的具体 步骤.

42

环节

呈现教学材料

师生互动设计 生: 结合引例 “二分查找” 理解二分法的算法思想 与计算原理.

1 若 f ( x ) = 0 ,则 x 就是函数的零点; ○ 1 1

点 x0 ? (a, x1 ) ); 点 x0 ? ( x1 , b) );

2 若 f ( a ) · f ( x ) < 0 ,则令 b = x (此时零 ○ 1 1 3 若 f ( x ) · f (b) < 0 ,则令 a = x (此时零 ○ 1 1

4.判断是否达到精度 ? ;

师:引导学生分析理解求

即若 | a ? b |? ? , 则得到零点零点值 a (或 b ) ; 区间 (a , b) 的中点的方 否则重复步骤 2~4. 法 x1 ?

a?b . 2

例题解析: 3 例 1.求函数 f ( x) ? x ? x ? 2x ? 2 的一个 正数零点(精确到 0.1 ). 分析:首先利用函数性质或借助计算机、计算 器画出函数图象,确定函数零点大致所在的区间, 然后利用二分法逐步计算解答. 解:(略). 组 织 探 究 注意:
1 第一步确定零点所在的大致区间 (a , b) , ○

师:引导学生利用二分法 逐步寻求函数零点的近 似值,注意规范方法、步 骤与书写格式.

生:根据二分法的思想与 步骤独立完成解答,并进 行交流、讨论、评析.

可利用函数性质,也可借助计算机或计算器,但尽 量取端点为整数的区间,尽量缩短区间长度,通常 可确定一个长度为 1 的区间;
2 建议列表样式如下: ○

零点所在区间 [1,2] [1,1.5] [1.25,1.5]

中点函数值

区间长度 1 0.5 0.25

f (1.5) >0 f (1.25) <0

师:引导学生应用函数单 调性确定方程解的个数.

f (1.375) <0

如此列表的优势:计算步数明确,区间长度小 于精度时,即为计算的最后一步. 例 2.借助计算器或计算机用二分法求方程 x 2 ? 3x ? 7 的近似解(精确到 0.1 ). 解:(略). 思考:本例除借助计算器或计算机确定方程解 所在的大致区间和解的个数外,你是否还可以想到 有什么方法确定方程的根的个数? 结论:图象在闭区间 [a , b] 上连续的单调函数

生:认真思考,运用所学 知识寻求确定方程解的 个数的方法,并进行、讨 论、交流、归纳、概括、 评析形成结论.

f ( x) ,在 (a , b) 上至多有一个零点.

43

环节

探 究 与 发 现

呈现教学材料 1) 函数零点的性质 从“数”的角度看:即是使 f ( x) ? 0 的实数; 从“形”的角度看:即是函数 f ( x) 的图象与 x 轴交点的横坐标; 若函数 f ( x) 的图象在 x ? x0 处与 x 轴相切, 则 零点 x0 通常称为不变号零点; 若函数 f ( x) 的图象在 x ? x0 处与 x 轴相交, 则 零点 x0 通常称为变号零点. 2) 用二分法求函数的变号零点 二分法的条件 f ( a ) · f (b) ? 0 表明用二分法 求函数的近似零点都是指变号零点.

师生互动设计 师:引导学生从“数”和 “形”两个角度去体会函 数零点的意义,掌握常见 函数零点的求法,明确二 分法的适用范围.

1) 教材 P106 练习 1、2 题; 2) 教材 P108 习题 3.1(A 组)第 1、2 题; 3) 求方程 log3 x ? x ? 3 的解的个数及其大致 尝 试 练 习 所在区间; 4) 求方程 0.9 ?
x

2 x ? 0 的实数解的个数; 21

5) 探究函数 y ? 0.3 x 与函数 y ? log0.3 x 的图 象有无交点,如有交点,求出交点,或给出 一个与交点距离不超过 0.1 的点.

1) 教材 P108 习题 3.1(A 组)第 3~6 题、(B 组)第 4 题; 2) 提高作业:
1 已知函数 ○

f ( x) ? 2(m ? 1) x 2 ? 4mx ? 2m ? 1 .
作 业 回 馈 (1)m 为何值时, 函数的图象与 x 轴有两个交 点? (2)如果函数的一个零点在原点,求 m 的值.
2 借助于计算机或计算器,用二分法求函数 ○

f ( x) ? x 3 ? 2 的零点(精确到 0.01 );

3 3 用二分法求 3 的近似值(精确到 0.01 ). ○

44

环节 课 外 活 动 收 获 与 体 会

呈现教学材料 查找有关系资料或利用 internet 查找有关高次 代数方程的解的研究史料,追寻阿贝尔( Abel)和 伽罗瓦(Galois),增强探索精神,培养创新意识.

师生互动设计

说说方程的根与函数的零点的关系,并给出判 定方程在某个区间存在根的基本步骤,及方程根的 个数的判定方法; 谈谈通过学习求函数的零点和求方程的近似 解,对数学有了哪些新的认识?

课题:§3.2.1 几类不同增长的函数模型
教学目标: 知识与技能 结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义,理 解它们的增长差异性. 过程与方法 能够借助信息技术, 利用函数图象及数据表格, 对几种常见增长类型的函数的 增长状况进行比较,初步体会它们的增长差异性;收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指 数函数、对数函数、幂函数、分段函数等),了解函数模型的广泛应用. 情感、态度、价值观 体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型,体验指数函数、 对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用. 教学重点: 重点 将实际问题转化为函数模型,比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长 差异,结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义. 难点 怎样选择数学模型分析解决实际问题. 教学程序与环节设计: 创设情境 实际问题引入,激发学生兴趣.

组织探究

选择变量、建立模型,利用数据表格、函数图象讨论 模型,体会不同函数模型增长的含义及其差异. 总结例题的探究方法,并进一步探索研究幂函数、指 数函数、对数函数的增长差异,形成结论性报告. 师生交流共同小结,归纳一般的应用题的求 解方法步骤. 强化基本方法,规范基本格式.

探索研究

巩固反思

作业回馈

课外活动

收集一些社会生活中普遍使用的函数模型,了解函数 模型的广泛应用.
45

教学过程与操作设计: 环节 教学内容设计 师生双边互动 师:指出:一般而言, 材料:澳大利亚兔子数“爆炸” 在理想条件 (食物或养 在教科书第三章的章头图中,有一大群喝水、嬉 料充足,空间条件充 戏的兔子,但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑 裕,气候适宜,没有敌 筋.1859 年,有人从欧洲带进澳洲几只兔子,由于 害等)下,种群在一定 澳洲有茂盛的牧草,而且没有兔子的天敌,兔子数 时期内的增长大致符 量不断增加,不到 100 年,兔子们占领了整个澳大 合“ J ”型曲线;在有 利亚, 数量达到 75 亿只. 可爱的兔子变得可恶起来, 限环境(空间有限,食 75 亿只兔子吃掉了相当于 75 亿只羊所吃的牧草, 草 物有限, 有捕食者存在 原的载畜率大大降低,而牛羊是澳大利亚的主要牲 等)中,种群增长到一 口.这使澳大利亚头痛不已,他们采用各种方法消 定程度后不增长, 曲线 灭这些兔子,直至二十世纪五十年代,科学家采用 呈“S”型.可用指数 载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔,澳大利亚人 函数描述一个种群的 才算松了一口气. 前期增长, 用对数函数 描述后期增长的 例 1. 假设你有一笔资金用于投资, 现有三种投 资方案供你选择,这三种方案的回报如下: 方案一:每天回报 40 元; 方案二:第一天回报 10 元,以后每天比前一天 多回报 10 元; 方案三:第一天回报 0 .4 元,以后每天的回报 比前一天翻一番. 请问,你会选择哪种投资方案? 探究: 1) 在本例中涉及哪些数量关系?如何用函数描 述这些数量关系? 师:创设问题情境,以 问题引入能激起学生 的热情, 使课堂里的有 效思维增强. 生:阅读题目,理解题 意,思考探究问题. 师: 引导学生分析本例 中的数量关系, 并思考 应当选择怎样的函数 模型来描述. 生:观察表格,获取信 息, 体会三种函数的增 长差异, 特别是指数爆 炸,说出自己的发现, 并进行交流. 师: 引导学生观察表格 中三种方案的数量变 化情况, 对于 “增加量” 进行比较,体会“直线 增长”、“指数爆炸” 等.

创 设 情 境









2)分析解答(略)

3)根据例 1 表格中所提供的数据,你对三种方 案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识?

46

环节

教学内容设计 4)你能借助计算器或计算机作出函数图象,并 通过图象描述一下三种方案的特点吗?

师生双边互动 师: 引导学生利用函数 图象分析三种方案的 不同变化趋势. 生: 对三种方案的不同 变化趋势作出描述, 并 为方案选择提供依据.

5)根据以上分析,你认为就作出如何选择?

师: 引导学生分析影响 方案选择的因素, 使学 生认识到要做出正确 选择除了考虑每天的 收益, 还要考虑一段时 间内的总收益. 生:通过自主活动,分 析整理数据, 并根据其 中的信息做出推理判 断, 获得累计收益并给 出本全的完整解答, 然 后全班进行交流.









例 2.某公司为了实现 1000 万元利润的目标, 师: 引导学生分析三种 准备制定一个激励销售部门的奖励方案:在销售利 函数的不同增长情况 润达到 10 万元时,按销售利润进行奖励,且奖金 y 对于奖励模型的影响, (单位:万元)随销售利润 x (单位:万元)的增 使学生明确问题的实 加而增加但奖金不超过 5 万元,同时奖金不超过利 质就是比较三个函数 润的 25%.现有三个奖励模型: 的增长情况.

y ? 0.25x

y ? log7 x ? 1

y ? 1.002x .

问:其中哪个模型能符合公司的要求? 探究: 1) 本例涉及了哪几类函数模型? 本例的实质是什么?

生: 进一步体会三种基 本函数模型在实际中 的广泛应用, 体会它们 的增长差异. 师: 引导学生分析问题 使学生得出: 要对每一 个奖励模型的奖金总 额是否超出 5 万元, 以 及奖励比例是否超过 25%进行分析,才能做 出正确选择.

2)你能根据问题中的数据,判定所给的奖励模 型是否符合公司要求吗?

47

环节

呈现教学材料

师生互动设计 生: 分析数据特点与作 用判定每一个奖励模 型是否符合要求.

组 织 探 究 生: 进一步认识三个函 数模型的增长差异, 对 问题作出具体解答. 幂函数、指数函数、对数函数的增长差异分析: 师: 引导学生仿照前面 例题的探究方法, 选用 你能否仿照前面例题使用的方法,探索研究幂 具体函数进行比较分 析. 函数 y ? x n (n ? 0) 、 指数函数 y ? a x (a ? 1) 、 对数 生: 仿照例题的探究方 法, 选用具体函数进行 异,并进行交流、讨论、概括总结,形成较为准确、 研究、论证,并进行交 详尽的结论性报告. 流总结, 形成结论性报 告. 函数 y ? loga x(a ? 1) 在区间 (0,??) 上的增长差 师: 对学生的结论进行 评析, 借助信息技术手 段进行验证演示. 尝试练习: 1) 教材 P116 练习 1、2; 2) 教材 P119 练习. 巩 固 与 反 思 生: 通过尝试练习进一 步体会三种不同增长 的函数模型的增长差 异及其实际应用. 3)通过对三个函数模型增长差异的比较,写出 例 2 的解答. 师: 引导学生利用解析 式,结合图象,对三个 模型的增长情况进行 分析比较, 写出完整的 解答过程.

探 究 与 发 现

小结与反思: 通过实例和计算机作图体会、认识直线上升、 师: 培养学生对数学学 指数爆炸、 对数增长等不同函数模型的增长的含义, 科的深刻认识, 体会数 认识数学的价值,认识数学与现实生活、与其他学 学的应用美. 科的密切联系,从而体会数学的实用价值,享受数 学的应用美.

48

环节 作 业 与 回 馈

呈现教学材料

师生互动设计

教材 P127 习题 32(A 组)第 1~5 题; (B 组)第 1 题

课 外 活 动

收集一些社会生活中普遍使用的递增的一次函 数、指数函数、对数函数的实例,对它们的增长速 度进行比较,了解函数模型的广泛应用; 有时同一个实际问题可以建立多个函数模 型.具体应用函数模型时,你认为应该怎样选用合 理的函数模型?

49


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