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湖北省黄冈市名校2010年高三年级数学(理)模拟试题(9)


年高三年级数学模拟试题( 湖北省黄冈市名校 2010 年高三年级数学模拟试题(9)
数学试题(理科) 数学试题(理科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是满足题目要求的。 ,且 1. 若 sin2θ-1+i( 2 cosθ+1)是纯虚数(其中 i 是虚数单位) θ∈[0,2π),则θ的值 A

π
4

B

3π 4

C

5π 4

D

π
4



3π 4

2. 设集合 P = {b,1} , Q = {c,1,2} , P ? Q , 若 b, c ∈ {2,3,4,5,6,7,8,9} ,则 b = c 的概率是 A

1 8

B

1 4

C

1 2

D

3 8

3. .向量 V =( a n +1 ? A 4. 50

2 a n a n+1 ), V 是直线 y=x 的方向向量,a 1 =5,则数列 {a n } 的前 10 项的和 , 2 2a n

B

100

C 150 , 则

D 200

(2 x + 4) 2010 = a 0 + a1 x + a 2 x 2 + ? + a 2010 x 2010
数是 A.0 B.1 C.2

a 0 + a 2 + a 4 + ? + a 2010
D.不能确定

被3除的余

?x-y+5≥0, ? 5. 已知 x,y 满足条件 ?x+y≥0, ?x≤3, ? 13 1 A 4 B C 6 3

x+y+2 则 z= 的最小值( x+3 D -

2 3

?log 1 x ( x ≥ 1) ? 2 6.已知函数 f ( x ) = ? 的反函数为 f ?1 ( x ) ,在 (?∞,1) ∪ (1, +∞) 上的导函数为 ?( x ? 1) 2 ( x < 1) ?
f ′( x) ,则 f ?1 (4) + f ′(?1) =
A. ?6 B. 1 C. ?1 D. ?5

7.已知函数 f ( x ) = sin x + cos x, g ( x ) = 2sin x ,动直线 x = t 与 f ( x ) 、 g ( x ) 的图象分别 交于点 P 、 Q , | PQ | 的取值范围是 A.[0,1] B.[0,2] C.[0,

2 ] D.[1, 2 ]

8.已知两个不相等的实数 a、b 满足以下关系式:

a 2 ? sin θ + a ? cos θ ?

π

4

= 0, b 2 ? sin θ + b ? cos θ ?

π
4

= 0 ,则连接 A ( a 2 ,a ) 、 B ( b 2 ,b ) 两
-1-

点的直线与圆心在原点的单位圆的位置关系是 B 相交 C 相切 A 相离 9. 直线 MN 与双曲线 C:

. D 不能确定

x2 y2 ? = 1 的左右支分别交与 M、N 点,与双曲线 C 的右准线相交 a 2 b2

于 P 点,F 为右焦点,若 FM = 2 FN ,又 NP = λ PM ( λ ∈ R ),,则实数 λ 的值为 A

1 2

B 1

C

2

D

1 3

10. 已知 f (x ) 为定义在 (?∞,+∞) 上的可导函数,且 f ( x ) < f ′( x ) 对于 x ∈ R 恒成立,则 A. f ( 2) > e 2 ? f (0) ,
2 B. f ( 2) < e ? f (0) ,

f (2010) > e 2010 ? f (0) f (2010) > e 2010 ? f (0) f (2010) < e 2010 ? f (0)

C. f ( 2) > e ? f (0) ,
2

D. f ( 2) < e 2 ? f (0) , f ( 2010) < e 2010 ? f (0) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上, 一题两空的题,其答案按先后次序填写.

?1 ? 1 ? x ? ( x < 0) ,要使 f(x)在(-∞,+∞)内连续,则 a =______ 11. 设函数 f(x)= ? x ? a + x 2 ( x ≥ 0) ?
12. 已知随机变量 ξ 服从正态分布,且方程 x 2 +2x+ ξ =0 有实数解得概率为 =0.8,则 P(0 ≤ ξ ≤ 2 )=___________ 13. 将 A、B、C、D、E 五种不同的文件放入一排编号依次为 1、2、3、4、5、6 的六个抽屉内, 每个抽屉至多放一种文件.若文件 A、B 必须放入相邻的抽屉内,文件 C、D 也必须放相邻的抽 屉内,则文件放入抽屉内的满足条件的所有不同的方法有 种.

1 ,若 P( ξ ≤ 2 ) 2

14. 已 知 点 M 是 抛 物 线 y 2 =4x 的 一 点 , F 为 抛 物 线 的 焦 点 , A 在 圆 C:(x-4) 2 +(y-1) 2 =1 上,则 MA + MF 的最小值为__________; 15. . 如 图 , 在 三 棱 锥 P ? ABC 中 , PA 、 PB 、 PC 两 两 垂 直 , 且
P

PA = 3, PB = 2, PC = 1 .设 M 是底面 ABC 内一点,定义 f ( M ) = (m, n, p ) ,
其 中 m 、 n 、 p 分 别 是 三 棱 锥 M ? PAB 、 三 棱 锥 M ? PBC 、 三 棱 锥

A M B
第 15 题

C

-2-

1 1 a M ? PCA 的 体 积 . 若 f ( M ) = ( , x, y ) , 且 + ≥ 8 恒 成 立 , 则 正 实 数 a 的 最 小 值 为 x y 2
________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. 已知锐角 ?ABC 的三内角 A、B、C 的对边分别是 a, b, c, 且(b + c ? a ) tan A =
2 2 2

3bc.

(1)求角 A 的大小; (2)求 sin( A + 10°) ? [1 ? 3 tan( A ? 10°)] 的值。

17. 如图, Rt△ AOB 中,∠OAB = 在

π ,斜边 AB = 4 . Rt△ AOC 可以通过 Rt△ AOB 以 6

直线 AO 为轴旋转得到,且二面角 B ? AO ? C 是直二面角.动点 D 的斜边 AB 上. (1)求证:平面 COD ⊥ 平面 AOB ; (2) D 为 AB 的中点时, 当 求异面直线 AO 与 CD 所成角的大小; (3)求 CD 与平面 AOB 所成角的最大值.

A

D

O
18. 某地区试行高考考试改革:在高三学年中举行 5 次统一测试,

B

C

学生如果通过其中 2 次测试即可获得足够学分升上大学继续学习,不用参加其余的测试,而 每个学生最多也只能参加 5 次测试. 假设某学生每次通过测试的概率都是 否互相独立. 规定:若前 4 次都没有通过测试,则第 5 次不能参加测试. (Ⅰ) 求该学生考上大学的概率. (Ⅱ) 如果考上大学或参加完 5 次测试就结束,记该生参加测试的次数为ξ,求变量ξ的分 布列及数学期望 Eξ。

1 , 每次测试通过与 3

2 19. 已知二次函数 g(x)对任意实数 x 都满足 g ( x ? 1) + g (1 ? x ) = x ? 2 x ? 1 ,且 g (1) = ?1 .令

-3-

f ( x) = g x + 1 + m ln x + 9 (m ∈ R , x > 0) . 2 8

( )

(1)求 g(x)的表达式; (2)设 1 < m ≤ e , H ( x) = f ( x) ? (m + 1) x , 证明:对任意 x 1 ,x 2 ∈ [1, m] ,恒有 | H ( x1 ) ? H ( x2 ) |< 1.

x2 y2 20. 如图,已知直线 L : x = my + 1过椭圆C : 2 + 2 = 1( a > b > 0) 的右焦点 F,且交椭圆 a b
2 C 于 A,B 两点,点 A,F,B 在直线 G : x = a 上的射影依次为点 D,K,E,

(1)已知抛物线 x 2 = 4 3 y 的焦点为椭圆 C 的上顶点。 ①求椭圆 C 的方程; ②若直线 L 交 y 轴于点 M,且 MA = λ1 AF , MB = λ2 BF , 当 m 变化时,求 λ1 + λ2 的值; (2)连接 AE,BD,试探索当 m 变化时,直线 AE、BD 是否相交于 一定点 N?若交于定点 N,请求出 N 点的坐标并给予证明; 否则说明理由.

21. 已知数列 {an } 的首项 a1 =

3 3an , an +1 = , n = 1 2, . ,? 5 2an + 1

(1)求 {an } 的通项公式; (2)证明:对任意的 x > 0 , an ≥

1 1 ? 2 ? 2, ? ? x ? , n = 1, ? ; 2 ? n 1 + x (1 + x ) ? 3 ?

(3)证明: a1 + a2 + ? + an >

n2 . n +1

数学试题参考答案 数学试题参考答案
1-10 ACACC DCBAA
-4-

11.

1 2

12 .0.6

13. 96

14.4 15 .1

16. 解: (1)由已知条件及余弦定理得 tan A =

3bc sin A 3 ,∴ = , 2bc cos A cos A 2 cos A
……………………6 分

∴ sin A =

3 π π .∵ A ∈ (0, ) , 故A = . 2 2 3

(2) sin( A + 10°)[1 ? 3 tan( A ? 10°)] = sin 70°(1 ? 3

sin 50° ) cos 50°

= sin70

cos 50 ? 3 sin 50 cos 50 sin(30 ? 50 ) 2 sin 20 cos 20 ==- =-1 cos 50 sin 40
….12 分

=2sin70

17.解: (I)由题意,CO ⊥ AO , BO ⊥ AO ,∴∠BOC 是二面角 B ? AO ? C 的平面角, 又∵ 二面角 B ? AO ? C 是直二面角,∴ CO ⊥ BO ,又∵ AO ∩ BO = O ,

∴ CO ⊥ 平面 AOB ,又 CO ? 平面 COD .∴ 平面 COD ⊥ 平面 AOB . --------4 分 (II)作 DE ⊥ OB ,垂足为 E ,连结 CE ,则 DE ∥ AO , ∴∠CDE 是异面直线 AO 与 CD 所成的角. - -------------------------5 分 1 2 2 在 Rt△COE 中, CO = BO = 2 , OE = BO = 1 , ∴ CE = CO + OE = 5 .又 2
DE =
1 CE 5 15 AO = 3 .∴ 在 Rt△CDE 中, tan CDE = = = . ----------7 分 2 DE 3 3 15 . --------------------8 分 3

∴ 异面直线 AO 与 CD 所成角的大小为 arctan

( III ) 由 ( I ) 知, CO ⊥ 平 面 AOB , ∴∠CDO 是 CD 与 平 面 AOB 所 成 的 角 ,且

tan CDO =

OC 2 = .当 OD 最小时, ∠CDO 最大………………10 分 OD OD OA ? OB 2 3 = 3 , tan ∠CDO = , AB 3
2 3 .3
----------------------12

这时, OD ⊥ AB ,垂足为 D , OD =

∴ CD 与平面 AOB 所成角的最大值为 arctan

18. 解 : Ⅰ ) 记 “ 该 生 考 上 大 学 ” 的 事 件 为 事 件 A , 其 对 立 事 件 为 A , 则 (

2 2 64 16 112 1 1 2 P ( A) = C 4 ( )( ) 3 ( ) + ( ) 4 = + = . 3 3 3 3 243 81 243
∴ P ( A) = 1 ? P ( A) = 1 ?

112 131 = . ……6 分 243 243

-5-

(Ⅱ)该生参加测试次数ξ的可能取值为 2,3,4,5. P(ξ = 2) = ? 1 ? = 1 , ? ? 9 ? 3?
2 4 1 1 2 1 1 P(ξ = 3) = C2 . . . = , P(ξ = 4) = C3 ? 1 ? ? 2 ? ? 1 + ( 2 ) 4 = 4 + 16 = 28 , ? 3 3 3 27 3 ?3? 3 3 27 81 81 ?

2

P(ξ = 5)

1 ?1? ? 2? = C4 ? ? ? ? ? ?

3

?3? ? 3?

=

32 故ξ的分布列为: . 81

Eξ = 2 ×

1 4 28 32 326 + 3× + 4× + 5× = . ……12 分 9 27 81 81 81
2 2

19.解 (1)设 g ( x ) = ax 2 + bx + c ,于是 g ( x ? 1) + g (1 ? x ) = 2a ( x ? 1) + 2c = 2 ( x ? 1) ? 2,
?a = 1, ? 2 又 g (1) = ?1 ,则 b = ? 1 .所以 g ( x ) = 1 x 2 ? 1 x ? 1 . 所以 ? 2 2 2 ?c = ?1. ? (2)因为对 ?x ∈ [1,m] , H ′( x) = ……………5 分

( x ? 1)( x ? m) ≤ 0, 所以 H ( x) 在 [1, m] 内单调递减. x 1 2 1 m ? m ln m ? . 2 2

于是 | H ( x1 ) ? H ( x2 ) |≤ H (1) ? H ( m) = | H ( x1 ) ? H ( x2 ) |< 1 ? 记 h ( m) =

1 2 1 1 3 m ? m ln m ? < 1 ? m ? ln m ? < 0. …………………8 分 2 2 2 2m

1 3 m ? ln m ? (1 < m ≤ e) ,则 h' (m) = 1 ? 1 + 3 2 = 3 1 ? 1 2 m 2m 2 m 3 2 2m 1 3 所以函数 h( m) = m ? ln m ? 在 (1,e] 是单调增函数, 2 2m

(

) + 1 > 0, 3
2

所以 h( m) ≤ h(e) = 20. 解: 1)易知 b = (

e 3 ( e ? 3)( e + 1) ?1? = < 0 ,故命题成立. 2 2e 2e

………………… 12 分

3

∴ b 2 = 3, 又F (1,0) ,∴ c = 1

a2 = b2 + c2 = 4
…………………3 分

∴ 椭圆C的方程为

x2 y2 + =1 4 3 1 ) m

∵ l与y轴交于M (0,?

设 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 )

? x = my + 1 由? 2 2 ?3x + 4 y ? 12 = 0
? = 144(m 2 + 1) > 0
…………………………5分

∴ (3m 2 + 4) y 2 + 6my ? 9 = 0
∴ 1 1 2m + = (*) y1 y 2 3

-6-

又由 MA = λ1 AF

∴ ( x1 , y1 +

1 ) = λ1 (1 ? x1 ,? y1 ) m

∴ λ1 = ?1 ?

1 my1

同理 λ 2 = ?1 ?

1 my 2
……………………………………8分

∴ λ1 + λ 2 = ?2 ?

1 1 1 2 8 ( + ) = ?2 ? = ? m y1 y 2 3 3

(3)∵ F (1,0), k = ( a 2 ,0) ,先探索,当m=0时,直线L⊥ox轴,则ABED为矩形,由对称性

知,AE与BD相交FK中点N,且 N (

a2 +1 ,0 ) 2 a2 +1 ,0 ) 2
……………………9分

猜想:当m变化时,AE与BD相交于定点 N (

2 2 证明:设 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ), E ( a , y 2 ), D ( a , y1 )

当m变化时首先AE过定点N

? x = my + 1 即(a 2 + b 2 m 2 ) y 2 + 2mb 2 y + b 2 (1 ? a 2 ) = 0 ∵? 2 2 2 2 2 2 ?b x + a y ? a b = 0 ? = 4a 2 b 2 (a 2 + m 2 b 2 ? 1) > 0(∵ a > 1) 又K AN = ? y1 ? y2 , K EN = a ?1 1? a2 ? my1 2 2
2

而K AN ? K EN

a2 ?1 ( y1 + y 2 ) ? my1 y 2 = 2 2 2 1? a a ?1 ? my1 ) ( 2 2

(∵

a2 ?1 a2 ?1 2mb 2 b 2 (1 ? a 2 ) ( y1 + y 2 ) ? my1 y 2 = ? (? 2 ) ? m? 2 2 2 a + m 2b 2 a + m 2b 2 (a 2 ? 1) ? (mb 2 ? mb 2 ) = = 0) a 2 + m 2b 2 ∴
A、N、E三点共线,

∴ K AN = K EN

同理可得B、N、D三点共线

N(
∴AE与BD相交于定点

a2 +1 ,0 ) 2

……………………13分

21.解法一: (Ⅰ)∵ an +1 =

? 1 1? 1 3an 1 2 1 ? 1 = ? ? 1? , ,∴ ,∴ = + an+1 3 ? an ? 2 an + 1 an +1 3 3a n
-7-



?1 ? 2 1 1 2 ? 1 = ,∴ ? ? 1? 是以 为首项, 为公比的等比数列. 3 3 an 3 ? an ?
3n 1 2 1 2 . ? 1 = ? n ?1 = n ,∴ an = n 3 +2 an 3 3 3
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 an =

………3 分



……………………4 分

3n > 0, 3n + 2

……………………5 分

1 1 ?2 1 1 ? 2 ? ? ? ? x? = ? +1 ?1 ? x ? 2 ? n 2 ? n 1 + x (1 + x) ? 3 ? 1 + x (1 + x) ? 3 ?

=

1 1 ? 1 + x (1 + x) 2

?1 ? 1 1 2 + ? ? (1 + x) ? = ? ? 2 an (1 + x) 1 + x ? an ?
2

1? 1 ? =? ? ? an ? + an ≤ an , ∴ 原不等式成立.………………8 分 an ? 1 + x ?
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,对任意的 x > 0 ,有

1 1 ?2 ? 1 1 ?2 ? 1 1 ?2 ? a1 + a2 +?+ an ≥ ? ? x? + ? ? x ? +?+ ? ? ? x? 2? 2? 2 1+ x (1+ x) ? 3 ? 1+ x (1+ x) ? 3 1+ x (1+ x)2 ? 3n ? ? = n 1 ?2 2 2 ? ? + 2 + ? + n ? nx ? . 2 ? 1 + x (1 + x) ? 3 3 3 ?
……………………10 分

2? 1? ?1 ? n ? 1 1?2 2 2? 3 1? 3 ? ? = ?1 ? n ? ,…………12 分 ∴ 取 x = ? + 2 +? + n ? = ? 3 ? n?3 3 ? 1? n? 3 ? n ?1 ? ? ? 3?
则 a1 + a2 + ? + an ≥

n 1? 1 1 + ?1 ? n n? 3

? ? ?

=

n2 n +1? 1 3n

>

n2 . n +1

∴ 原不等式成立.
注: (Ⅱ)设 f ( x) =


……………………14 分

1 1 ?2 2 ? ? ? x ? ,用导数求得当 x = n 时, f ( x ) 取得最大值为a 2 ? n 1+ x (1 + x) ? 3 3 ?

.参照本标准给分。

-8-



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