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数学必修一2.1.4函数的奇偶性(2)学案


数学必修一 2.1.4 函数的奇偶性(2)学案
命制人:艾长海 复核人:秦允成 备课组长:张世平 日期:2011 年 10 月 9 日

【基础回顾】
问题 1:什么是函数的奇偶性? 2:如何判断函数的奇偶性?

【知识梳理】
函数的奇偶性与单调性的关系 设奇函数 y ? f ( x) 的定义域为 D ,则 D 一定关于坐标原点对称,且在原点两侧的单调性 __________。 设偶函数 y ? g ( x) 的定义域为 D,则 D 一定关于坐标原点对称,且在原点两侧

的单调性__________。

【典例解析】
题型一:用定义判断函数的奇偶性

例1

( 1)f ( x) ? x ? a ? x ? a

? x2 ? 2x ?( 3 x ? 0) ? (2)f ( x) ? ? ( 0 x ? 0) ; 2 ?? x ? 2 x ? ( 3 x ? 0) ?

题型二:函数单调性、奇偶性综合问题 例 2、已知奇函数 f ( x) 在区间[1,6]上是增函数,且最大值为 10,最小值为 4,那么 f ( x) 在[-6,-1] 是增函数还是减函数?求 f ( x) 在[-6,-1]的最大值和最小值。

感悟内化:已知函数 f ( x ) 是偶函数在区间[0,4]上是增函数,则 f ( x) 在[-4,0]上是________,

f (?3)与f (? )的大小关系是________。
题型三:判断函数的奇偶性 例 3 已 知 函 数

y ? f ( x) 是 偶 函 数 ,

y ? g ( x) 是 奇 函 数 , 判 断

y ? f ( x) ? g ( x); y ? f ( x) ? g ( x); y ? f ( x) ? g ( x); 的奇偶性。

感悟内化:函数 f ( x) ? x 2 ? 3 x 的奇偶性是( 题型四:抽象函数的奇偶性问题



例 4 已知函数 f ( x) , x ? R ,对于任意实数 a,b,都有 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) 。求证: f ( x) 为奇 函数。

【方法总结】

【当堂检测】
1、下列函数中既是奇函数,又在定义域上是增函数的是( A.y=3x+1 B. y ? )

1 x

C. y ? 1 ?

1 x

D. y ? x3

2、 设函数 f ( x)(x ? R) 为奇函数, f (1) ? A.0 B.1 C.

1 , f ( x ? 2) ? f ( x) ? f (2), 则f (5) ? 2

5 2

D.5

( - 1, 0) 3、 若函数 f ( x) 在 R 上为偶函数, 当 x ?[0,??)时,f ( x) ? x ? 1, 则f ( x) ? 0的解集是() A.
(- 1, 1) B. (0, 1) C.

(- ?, - 1) ? (1, ? ?) D.


4、奇函数 f ( x) 在[3,7]上是增函数,且最小值为 5,那么 f ( x)在[?7,?3]上是单调_____.函数, 最_____值是_____. 5、

y ? f ( x)(x ? R且x ? 0),当x ? (0,??)时,f ( x) ? x ? 1, 那么使得xf ( x) ? 0的x 的取值范围是

2 6、 f ( x) 是定义在[-7,7]上的偶函数,且在[0,7]上是减函数。 (1)若 f ( x ? 1) ? f (2), 求实数 x 的取值

范围; (2)当 0 ? a ? 3 时,比较 f (a ? a ? 1)与f (? )的大小 。
2

3 4

【优化训练】
1、设 f ( x) 是奇函数, g ( x) 是偶函数,并且 f ( x) ? g ( x) ? x 2 ? x ,求 f ( x) = 2、若函数 f ( x) ? (k ? 2) x 2 ? (k ? 1) x ? 3 是偶函数,则 f ( x) 的递减区间是 3、已知 f ( x) ? x 4 ? 23x 2 ? 3x ? a, f (?2) ? 10, 则 f (2) ? 。 。

4、已知 f ( x) 是定义在(-3,3)上的奇函数且 f (0)=0,当 0<x<3 时, f ( x) 的图像如图所 示.那么不等式 xf ( x) ? 0 的解集是 A. (?3,?1] ? (0,1] C. (?3,?1] ? [0,1] B. [?1,0) ? (0,1] D. [-1,1]

5、 、设 f ( x) 为定义域在 R 上的偶函数,且 f ( x) 在 [0 ? ?)为增函数 , 则f (?2), f (?? ), f (3) 的大小顺 序为( ) B. f (?? ) ? f (?2) ? f (3) D. f (?? ) ? f (?2) ? f (3)

A. f (?? ) ? f (3) ? f (?2) C. f (?? ) ? f (3) ? f (?2)

6、 f ( x ) 为 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? ?2 x2 ? 3x ? 1 ,求 f ( x ) 的解析式.

7、若函数 y ? f ( x) 对任意 x, y ? R, 恒有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) 。 (1)求证: y ? f ( x) 是奇函数; (2)若 f (?3) ? m, 求 f (12). (3)如果 x ? 0 时, f ( x) ? 0 且 f (1) ? ?

1 ,试求 f ( x) 在区间 ?? 2,6? 上的最值 2


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