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安徽省芜湖市2007-2008学年度第一学期期中考试高一数学[1].doc1


2007安徽省芜湖市 2007-2008 学年度第一学期期中考试高一数学
小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 选择题: 合题目要求的. 合题目要求的. ⒈右图中阴影部分用集合可表示为 A.

( ? A) I B
U

B. A I ? B U

(

)

U A B

C. ? ( A U B ) U ⒉已知 f ( x ) =

D. ? ( A I B ) U

x +1 ( x ≠ ±1) ,则下列各式成立的是 x ?1
B. f ( x ) ? f ( ? x) = ?1 D. f ( x ) ? f ( ? x ) = 1
x x

A. f ( x ) + f ( ? x ) = 0 C. f ( x ) + f ( ? x ) = 1

⒊若 x log 2 3 = 1 ,则 3 + 9 的值为 A.3 B.

5 2

C. 6

D.

1 2

⒋函数 f ( x ) = log 2 ? log 1 x ? 的定义域为

? ?

? ?

3

A. ( 0, +∞ )
5

B. ? , 2 ?
3

?1 ?3

? ?

C.

( 0,1)

D. ? , +∞ ?

?1 ?3

? ?

⒌已知函数 f ( x ) = ax ? bx + cx ? 3 , f ( ?3) = 7 ,则 f ( 3) 的值为 A. 13
2

B. ?13

C.7

D. ?7

?x , x > 0 ? ⒍已知 f ( x ) = ? 2, x = 0 ,则 f { f [ f ( ?2)]} 的值为 ? 0, x < 0 ?
A. 0 B. 2 C. 4 D. 8 ⒎函数 f ( x ) = log 3 x ? 8 + 2 x 的零点一定位于区间 A.

( 5, 6 )

B.

( 3, 4 )
C. ?1

C.

( 2,3)

D. (1, 2 )

8 对于每一个实数 x , f ( x ) 是 y = 2 x 与 y = ? x + 1 这两个函数中的较小者,则 f ( x ) 的最大值 A. 1 B. 0 D. 无最大值

9. 已知函数 f ( x ) 对任意非零实数 x 满足 2 f ( x ) + f ? ? = 3 x , 则 f ( x ) 在

?1? ? x?

第 1 页 共 7 页

A. (0,+∞ ) 上是增函数 C. (? ∞,0) 上是减函数

B. (0,+∞ ) 上是减函数 D. (? ∞,0) U (0,+∞) 上是增函数

10. 在下列四个函数中, 满足性质:“对于区间 ? 0, ? 上的任意 x1 , x 2 ( x1 ≠ x 2 ) , :

? ?

1? 2?

f ( x2 ) ? f ( x1 ) < x2 ? x1 恒成立”的只有
A. f ( x ) = 2 x + 1 11. 函数 f ( x ) = B. f ( x ) =

1 x

C. f ( x ) = x

D. f ( x ) = x

2

x + 4 ?3 的值域是 x ?5
B.

A. ? 0, ? ? 3

? ?

1? ?

? 1 ? ? 1 1? ? 0, ? U ? , ? ? 6 ? ? 6 3? ?

C.

1? ? ? ? ∞, ? 3? ?


D. (0, + ∞ )

12. 设函数 f ( x ) = x 2 ? x + a(a > 0 ) , A. f (m ? 1) > 0 1 2 3

且 f (m ) < 0 ,

B. f (m ? 1) = 0 C. f (m ? 1) < 0 D. f (m ? 1) 与 0 的大小不能确定 4 5 6 7 8 9 10 11 12

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 填空题: 小题, 13. 已知 A = ?a,

? b ? ,1? , B = a 2 , a + b,0 , f : x → x 表示把集合 A 中元素 x 映射到 a ? ?

{

}

集合 B 中仍为 x ,则 a + b = 14. 若不等式 ax 2 + bx + 4 > 0 的解集为

{x ? 2 < x < 1},

则二次函数

y = bx 2 + 4 x + a

(0 ≤ x ≤ 3) 的值域是

15. 若方程 ax 2 + 2 x ? 1 = 0 至少有一个正的实根,则实数 a 的取值范围是 16. 若方程 x 2 ? x ? a = 0 恰有 3 个实数解,则 a =

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小题, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 解答题: ⒘ (本小题满分 12 分) 已知集合 A = { x | 2 ≤ x ≤ 8} , B = { x |1 < x < 6} , C = { x | x > a} , U = R. ⑴求 A ∪ B , ? A ∩ B ; U ⑵如果 A ∩ C ≠ ? ,求 a 的取值范围.

(

)

⒙ (本小题满分 12 分) 已知 f ( x) = x 2 ? 2 x + 1, g ( x) 是一个一次函数, f ? g ( x ) ? = 4 x 2 , g (x ) 且 ? 求 ? 的解析式.

⒚ ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 函 数 f ( x ) = lg

x+ y 1+ x 满 足 性 质 f ( x) + f ( y ) = f ( ) .若 1? x 1 + xy

f(

a+b a ?b ) =1, f ( ) = 2 ,且 | a |= 1 , | b |< 1 ,求 f ( a ) 、 f ( ?b ) 的值. 1 + ab 1 ? ab

第 3 页 共 7 页

⒛(本小题满分 12 分)已知 a ∈ R 且 a ≠ 1 ,求函数 f ( x ) =

ax + 1 在 [1, 4] 上的最值. x +1

第 4 页 共 7 页

21.(本小题满分 14 分)对于函数 f ( x ) ,若存在 x0 ∈ R ,使 f ( x0 ) = x0 成立,则称点 ( x0 , f ( x0 )) 为 函数 f ( x ) 的不动点. (1) 若函数 f ( x ) = ax 2 + bx ? 2b(a ≠ 0 ) 有不动点 (0,0 )和(1,1) ,求 f ( x ) 的解析表达式; (2) 若对于任意实数 b ,函数 f ( x ) = ax + bx ? 2b 总有 2 个相异的不动点,求实数 a 的
2

取值范围; (3) 若定义在 R 上的函数 g ( x ) 满足 g (? x ) = ? g ( x ) ,且 g ( x ) 存在(有限的) n 个不动点, 求证: n 必为奇数.

22.(本小题满分 14 分)渔场中鱼群的最大养殖量为 m ,为了保证鱼群的生长空间,实际养殖量 x 小于 m ,以便留出适当的空闲量.已知鱼群的年增长量 y 和实际养殖量与空闲率(空闲率是空闲 量与最大养殖量的比值)的乘积成正比,比例系数为 k ( k > 0 ) . ⑴写出 y 关于 x 的函数关系式,并指出该函数的定义域; ⑵求鱼群年增长量的最大值; ⑶当鱼群年增长量达到最大值时,求 k 的取值范围.

第 5 页 共 7 页

2007安徽省芜湖市 2007-2008 学年度第一学期期中考试高一数学
选择题( 一. 选择题(每小题 5 分,共 60 分) 3 C 4 C 5 B 1 A 2 D 6 C 7 B 8 A 9 A 10 D 16. 11 B 12 A

二.填空题(每小题 4 分共 16 分) 13. ? 1 三. 解答题( 解答题(共 74 分)

14. [? 8, 0] 15. a ≥ ?1

1 4

⒘解:⑴ A ∪ B = { x |1 < x ≤ 8} ……………………………………………………………4 分

( ? A) ∩ B = { x |1 < x < 2} .…………………………………………………8 分
U

⑵Q A ∩ C ≠ ? ,∴ a < 8 .……………………………………………………………12 分 ⒙解:设 g ( x ) = ax + b ,则 f ? g ( x ) ? = ( ax + b ) ? 2 ( ax + b ) + 1 ………………………3 分 ? ?
2

= a 2 x 2 + ( 2ab ? 2a ) x + b 2 ? 2b + 1 = 4 x 2 …………………………………………6 分
? a 2 = 4, ? ∴ ? 2ab ? 2a = 0, 解得 a = ±2 , b = 1 .………………………………………………10 分 ?b 2 ? 2b + 1 = 0. ?

g ( x ) = 2 x + 1 或 g ( x ) = ?2 x + 1 .……………………………………………………12 分
⒚对任意 x ∈ (?1,1) ,

f ( ? x ) + f ( x ) = lg
即 ∴

1? x 1+ x ?? 1 ? x ? ? 1 + x ? ? + lg = lg ?? ?? ? ? = lg1 = 0 , 1+ x 1? x ?? 1 + x ? ? 1 ? x ? ?

f ( ? x ) = ? f ( x ) ,所以 f ( x ) 是奇函数.

a ?b ① f (a ) ? f (b) = f (a ) + f (?b) = f ( )=2 1 ? ab a+b 又 f ( a ) + f (b) = f ( ② ) = 1, 1 + ab 3 1 联立①②解得 f ( a ) = , f (b) = ? .…………………………………………12 分 2 2
⒛解:任取 x1 , x2 ∈ [1, 4] ,且 x1 < x2 ,

f ( x1 ) ? f ( x2 ) =

ax1 + 1 ax2 + 1 ( x1 ? x2 )( a ? 1) ……………………………2 分 ? = x1 + 1 x2 + 1 ( x1 + 1)( x2 + 1)

∵ x1 ? x2 < 0 , ( x1 + 1)( x2 + 1) > 0 ,又 a ∈ R 且 a ≠ 1 , 所以,当 a > 1 时, a ? 1 > 0 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) < 0 , f ( x1 ) < f ( x2 ) ,

第 6 页 共 7 页

函数 f ( x ) 在 [1, 4] 上是增函数,……………………………………………………5 分 最大值为 f ( 4 ) =

4a + 1 a +1 ,最小值为 f (1) = .………………………………7 分 5 2

当 a < 1 时, a ? 1 < 0 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) > 0 , f ( x1 ) > f ( x2 ) , 函数 f ( x ) 在 [1, 4] 上是减函数,…………………………………………………10 分 最大值为 f (1) =

a +1 4a + 1 ,最小值为 f ( 4 ) = .…………………………………12 分 2 5
2

21.解(1)由不动点定义有 f ( x ) ? x = 0 即 ax + (b ? 1)x ? 2b = 0 (※) 将 x = 0及x = 1 代入(※)解得 a = 1, b = 0 . 此时 f (x ) = x 2 ……………………………………………………………..(4 分) (2)由条件知,对任意的实数 b ,方程(※)总有两个相异的实数根.∴ ? = (b ? 1) + 8ab > 0
2

恒成立…….(6 分)
2

即对任意实数 b ,

b 2 + (8a ? 2 )b + 1 > 0 恒成立.

从而 ? ′ = (8a ? 2 ) ? 4 < 0 , 解得 0 < a <

1 ……………………………………….(9 分) 2

(3)显然点 (0,0) 是函数 g (x ) 在 R 上的一个不动点…...(10 分) 若 g (x ) 有异于 (0,0) 的不动点

(x0 , x0 ) , x0 ≠ 0 .则 g (x0 ) = x0 ,又 g (? x0 ) = ? g (x0 ) = ? x0 则 (? x0 ,? x0 ) 也是 g (x) 在 R 上的一
个不动点…….(12 分)所以, g (x ) 的有限个不动点除原点外,都是成对出现的,有 2k (k ∈ N ) 个, 则 g (x ) 在 R 上共有 2k + 1 个不动点.因此, n 为奇数………………….(14 分) 22. ⑴根据题意,得 y = k x(1 ?

x ) , 0 < x < m . ……………………………4 分 m k k m mk ⑵Q y = ? x 2 + kx = ? ( x ? ) 2 + ………………………………………7 分 m m 2 4 m mk ∴ 当 x = 时 , ymax = ……………………………………………………9 分 2 4 ⑶根据实际意义:实际养殖量 x 与年增长量 y 的和小于最大养殖量 m ,
即 0 < x + y < m ,……………………………………………………………… 12 分 ∴0 <

m km + < m ,解之得: ?2 < k < 2 2 4 ∵ k > 0 ,∴ 0 < k < 2 . ……………………………………………………… 14 分

第 7 页 共 7 页


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