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【成才之路】2015-2016学年高中数学 1.2.2充要条件习题课练习 新人教A版选修1-1


1.2.2 充要条件习题课

一、选择题 1.(2015·福建理)若 l,m 是两条不同的直线,m 垂直于平面 α ,则“l⊥m”是“l∥ α ”的( ) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 [答案] B

[解析] l⊥m 无法推出 l∥α ,因为 l 可能在平面内;l∥α 可以推出 l⊥m,因此“l ⊥m”是“l∥α ”的必要不充分条件. 2.(2015·江西临川十中期中)已知平面向量 a,b 满足|a|=1,|b|=2,a 与 b 的夹角 为 60°,则“m=1”是“(a-mb)⊥a”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 [答案] C [解析] ∵|a|=1,|b|=2, 〈a,b〉=60°,∴a·b=1×2×cos60°=1,(a-mb)
2

) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

⊥a?(a-mb)·a=0?|a| -ma·b=0?m=1,故选 C. 3.下列四个条件中,使 a>b 成立的充分而不必要的条件是( A.a>b+1 C.a >b
2 2

)

B.a>b-1 D.a >b
3 3

[答案] A [解析] ∵a>b+1? a-b>1? a-b>0? a>b, ∴a>b+1 是 a>b 的充分条件. 又∵a>b? a-b>0? / a>b+1, ∴a>b+1 不是 a>b 的必要条件, ∴a>b+1 是 a>b 成立的充分而不必要条件. [点评] 如 a=2=b,满足 a>b-1,但 a>b 不成立;又 a=-3,b=-2 时,a >b ,但
2 2

a>b 不成立;a>b?a3>b3.故 B、C、D 选项都不对.
4.设集合 M={x|x>2},P={x|x<3},那么“x∈M 或 x∈P”是“x∈M∩P”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 [答案] B [解析] 先分别写出适合条件的“x∈M 或 x∈P”和“x∈M∩P”的 x 的范围, 再根据充 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

要条件的有关概念进行判断. 由已知可得 x∈M 或 x∈P 即 x∈R,

x∈M∩P 即 2<x<3,
∴2<x<3? x∈R,但 x∈R? / 2<x<3, ∴“x∈M 或 x∈P”是“x∈M∩P”的必要不充分条件,故应选 B. 5.“a=2”是“直线 ax+2y=0 平行于直线 x+y=1”的( A.充分而不必要条件 C.充要条件 [答案] C [解析] 若 a=2, 则 ax+2y=0 即为 x+y=0 与直线 x+y=1 平行, 反之若 ax+2y=0 与 x+y=1 平行,则- =-1,a=2,故选 C. 2 6.“a=1”是“直线 y=kx+a 和圆 C:x +y =2 相交”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 [答案] A [解析] a=1? 直线 y=kx+1,直线 y=kx+1 过点(0,1),又点(0,1)在圆 x +y =2 内部,故 a=1? 直线 y=kx+a 和圆 C:x +y =2 相交,直线 y=kx+a 和圆 C:x +y =2 相交? / a=1,故选 A. 二、填空题 7.若条件 p:(x+1) >4,条件 q:x -5x+6<0,则 q 是 p 的________条件. [答案] 充分不必要 [解析] 因为(x+1) >4,所以 x<-3 或 x>1.又 x -5x+6<0,所以 2<x<3,所以 q? p, 即 q 是 p 的充分不必要条件. 8. 已知数列{an}, 那么“对任意的 n∈N+, 点 Pn(n, an), 都在直线 y=2x+1 上”是“{an} 为等差数列”的________条件. [答案] 充分不必要 [解析] 点 Pn(n,an)都在直线 y=2x+1 上,即 an=2n+1,∴{an}为等差数列, 但是{an}是等差数列却不一定就是 an=2n+1. 9.已知全集 S,若 p:A?B,q:?SB??SA,则 p 是 q 的________条件. [答案] 充要 [解析] 利用集合的图示法,如下图,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

)

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

a

)

B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

A?B? ?SB??SA,?SB??SA? A?B? S.
∴p 是 q 的充分条件,也是必要条件, 即 p 是 q 的充要条件. 三、解答题 10.求不等式(a -3a+2)x +(a-1)x+2>0 的解集是 R 的充要条件. [解析] 讨论二次项系数: (1)由 a -3a+2=0,得 a=1 或 a=2. 当 a=1 时,原不等式为 2>0 恒成立,∴a=1 适合. 当 a=2 时,原不等式为 x+2>0,即 x>-2,它的解集不是 R,∴a=2 不符合. (2)当 a -3a+2≠0 时,必须有
? ?a -3a+2>0 ? 2 2 ?Δ =?a-1? -8?a -3a+2?<0 ?
2 2 2 2 2



a<1或a>2 ? ? 解得? 15 a<1或a> ? 7 ?
15 ∴a<1 或 a> . 7



综上可知,满足题意的充要条件是 a 的取值范围 15 是 a≤1 或 a> . 7

一、选择题 1.设{an}是等比数列,则“a1<a2<a3”是“数列{an}是递增数列”的( A.充分而不必要条件 C.充要条件 [答案] C [解析] 若 a1<a2<a3,则 a1<a1q<a1q ,若 a1>0,则 q>1,此时为递增数列,若 a1<0,则 0<q<1,同样为递增数列,故充分性成立,必要性显然成立. 2.若命题甲是命题乙的充分不必要条件,命题丙是命题乙的必要不充分条件,命题丁 是命题丙的充要条件,则命题丁是命题甲的( A.充分不必要条件 ) B.必要不充分条件
2

)

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

C.充要条件 [答案] B [解析] 由条件知,甲? 乙? 丙?丁, ∴甲? 丁且丁? / 甲,故选 B.

D.既不充分又不必要条件

3.“φ =π ”是“曲线 y=sin(2x+φ )过坐标原点”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 [答案] A [解析] 本题考查充要条件及三角函数的性质.

)

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

当 φ =π 时,y=sin(2x+π )=-sin2x,此时图象过原点;而当函数图象过原点时, 可以取其他值.选 A. 4.设四边形 ABCD 的两条对角线为 AC、BD,则“四边形 ABCD 为菱形”是“AC⊥BD”的 ( ) A.充分不必要条件 C.充分必要条件 [答案] A [解析] 菱形的对角线互相垂直,对角线互相垂直的四边形不一定是菱形.故选 A. 二、填空题 5.“a=b”是“直线 y=x+2 与圆(x-a) +(y-b) =2 相切”的________条件. [答案] 充分不必要 [解析] 圆心为(a,b),半径 r= 2.若 a=b,有圆心(a,b)到直线 y=x+2 的距离 d |a-b+2| =r,所以直线与圆相切.若直线与圆相切,有 = 2,则 a=b 或 a-b=-4,所 2 以“a=b”是“直线与圆相切”的充分不必要条件. 6.命题 p:|x|<a(a>0),命题 q:x -x-6<0,若 p 是 q 的充分条件,则 a 的取值范围 是________,若 p 是 q 的必要条件,则 a 的取值范围是________. [答案] a≤2 a≥3 [解析] p:-a<x<a,q:-2<x<3, 若 p 是 q 的充分条件,则(-a,a)? (-2,3),
? ?-a≥-2 ∴? ?a≤3 ?
2 2 2

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

,∴a≤2,

若 p 是 q 的必要条件,则(-2,3)? (-a,a),
?-a≤-2 ? ∴? ? ?a≥3

,∴a≥3.

三、解答题 7.求证:一元二次方程 ax +bx+c=0 有一正根和一负根的充要条件是 ac<0. [解析] 充分性:(由 ac<0 推证方程有一正根和一负根) ∵ac<0, ∴一元二次方程 ax +bx+c=0 的判别式 Δ =b -4ac>0, ∴方程一定有两不等实根,设为 x1、x2,则 x1x2= <0, ∴方程的两根异号. 即方程 ax +bx+c=0 有一正根和一负根. 必要性:(由方程有一正根和一负根,推证 ac<0), ∵方程有一正根和一负根,设为 x1、x2, 则由根与系数的关系得 x1x2= <0, 即 ac<0, 综上可知:一元二次方程 ax +bx+c=0 有一正根和一负根的充要条件是 ac<0. 8.不等式 x -2mx-1>0 对一切 1≤x≤3 都成立,求 m 的取值范围. [解析] 令 f(x)=x -2mx-1 要使 x -2mx-1>0 对一切 1≤x≤3 都成立, ∵f(x)的图象开口向上,且 f(0)=-1<0(如图),
2 2 2 2 2 2 2 2

c a

c a

∴f(1)>0,即 1-2m-1>0,∴m<0. ∴m 的取值范围是 m<0.


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