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抛物线的简单几何性质学案和教案2


抛物线的简单几何性质(学案)
陈绍楠

(2)小结:抛物线的简单几何性质一览表 标准 y2=2px(p>0) 2 y =-2px (p>0) X2=2py(p>0) x2=-2py (p>0) 方程 y
y y y F

(第一课时) 学习重点:掌握抛物线的几何性质,能应用抛物线的几何性质解决问题. 学习难点:抛物线的几何性质的应用 一、复习回顾 1._________________________________________________________________ 叫 做 抛 物 线 ; _______________叫做抛物线的焦点,________________叫做抛物线的准线; 2.完成下表: 标准方程
y y F x F O x y F O x y O F

图 象

O

F

x

F

O

x

O

x

O F

x

图 象

O

x

焦点坐标 准线方程 p 的几何意 义 二、探究新知 (1)根据抛物线图像及标准方程探究抛物线的简单几何性质: 阅读教材 68 页的内容,研究抛物线的简单的几何性质,以 y2=2px(p>0)为例 ①范围 : ②对称性: ③顶点: ④离心率:

; ; ; ;

范 围 焦点 坐标 顶点 坐标 离 心 率 对 称 轴 焦 半 径 通 径 三、典例精析 【题型一】利用抛物线的性质求抛物线的方程 【例 1】已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过 M (2, ? 2 2) ,求它的标准方程。

补充:通径:通过焦点且垂直对称轴的直线,与抛物线相交于两点,连接这两点的线段叫做抛物线的通 径。

【变式训练】已知抛物线关于坐标轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过 M (2, ? 2 2) ,求它的标准 方程。

1

【题型二】有关焦点弦的问题 【例 2】斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y 2 ? 4x 的焦点,且与抛物线相交于 A、B 两点, 求线段 AB 的长.

【题型四】 直线与抛物线的位置关系 1. 直线与抛物线相切:直线与抛物线有且只有一个公共点,但不平行于抛物线的对称轴。即把 x=my +n 代入 y2=2px(p>0)消去 x 得:y2-2pmy-2pn=0①,当方程①的判别式△=0 ? 直线与抛 物线相切; 2. 直线与抛物线相交: (1)直线与抛物线只有一个交点:直线与抛物线的对称轴平行; (2)直线与抛物线有两个不同的交点 ? 方程①的判别式△>0; 3. 直线与抛物线相离 ? 方程①的判别式△<0。 【例 4】 : 已知抛物线的方程为 y 2 ? 4x ,直线 l 过定点 P(-2,1),斜率为 k,k 为何值时,直线 l 与抛物线 y?=4x:只有一个公共点;有两个公共点;没有公共点?

【变式训练】 :已知抛物线 y 2 ? 4x 截直线 y=x+b 所得弦长为 4,求 b 的值.

【题型三】中点弦问题 【例 3】 :求直线 y=x-1 被抛物线 y 2 ? 4x 截得线段的中点坐标. 【课堂练习】: 过点 M (0,1) 且和抛物线 C: y 2 ? 4x 仅有一个公共点的直线的方程是__________________________.

归纳小结: 【变式训练】: 已知抛物线 C: y 2 ? 4x ,设直线与抛物线两交点为 A、B,且线段 AB 中点为 M(2,1),求直线 l 的方 程.

2

抛物线的简单几何性质(教案)
陈绍楠 (第一课时) 教学重点:掌握抛物线的几何性质,能应用抛物线的几何性质解决问题. 教学难点:抛物线的几何性质的应用 教学方法:多媒体课件和学案探究相结合 复习回顾 1.抛物线的定义是什么?
“平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.” 2.抛物线的标准方程是什么?

二、小结:抛物线的简单几何性质一览表 标准方 程 y2=2px(p>0) y O F x y2=-2px(p>0) y F O x X2=2py(p>0) y F O x x2=-2py(p>0) y O F

图 象

x

范 围 焦点坐 标 顶点坐 标 离 心 率 对 称 轴

x≥0 p F(2 ,0) O(0,0) e=1 x轴 p |PF|=x0+2 p x=-2

x≤0 p F(-2 ,0) O(0,0) e=1 x轴 p |PF|=-x0+2 p x=2

y≥0 p F(0,2 ) O(0,0) e=1 y轴 p |PF|=y0+2 p y=-2

y≤0 p F(0,-2 ) O(0,0) e=1 y轴 p |PF|=-y0+2 p y=2

y2=2px(p>0) y2=-2px (p>0) X2=2py(p>0) x2=-2py (p>0)
怎样由抛物线的标准方程确定它的几何性质?以 y =2px(p>0)为例,课件展示给出下表,请学生对比、研究和填写.
2

2.完成下表: 标准方程
y y F x F O x y F O x y O F

图 象

焦 半 径 x 准线方 程 p 的几 何意义 通 径

O

抛物线的焦点到准线的距离,p 越大张口就越大
过焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线两交点间的线段叫做抛物线的通径,其长为 2p

焦点坐标 准线方程 p 的几何意 义

通过表格的填写,我们知道,四种形式抛物线顶点相同,均为 (0, 0) ,离心率均为1 ,它们都是 轴 对称图形,但是 对称轴不同. 3. 和椭圆、双曲线的几何性质相比:它们都是 轴 对称图形;椭圆、双曲线又是中心 对称图形,抛物线 不是;顶点个数不同:椭圆有 4个 ,双曲线有 2个 ,抛物线由一个顶点;焦点个数不同:椭圆和双曲线各有 2个 焦点,抛物 线只有一个焦点;离心率取值范围不同:椭圆的离心率范围是 0<e<1 ,双曲线的离心率范围是 e>1 ,抛物线的离心率是

探究新知一、抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的简单几何性质
??) , y ? R 1. 范围: x ?[0,
2. 对称轴:以 ? y 代 y 方程 y ? 2 px (p ? 0) 不变,所以这条抛物线关于 x 轴对称,我们把抛物线的对称轴叫做抛物
2

e=1 .
三、焦点弦及其性质(现将一部分) 1.抛物线焦点弦的定义:过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点这两点间的线段叫做抛物线的焦点弦。 2.抛物线焦点弦的性质: p 若抛物线的方程为 y2=2px(p>0) ,过抛物线的焦点 F( ,0)的直线交抛物线与 2
3

线的轴。 3. 顶点:抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点,抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的顶点为坐标原点.
2

4. 离心率:抛物线上的点 M 到焦点的距离和它到准线的距离的比,叫做抛物线的离心率,抛物线的离心率 e ? 1 . 同理可得其它三种抛物线简单的几何性质。

A(x1,y1) 、B(x2,y2)两点,则 ① y1y2=-p2; p2 ② x1x2= ; 4 ③ |AB|=x1+x2+p; 2p ④ |AB|= 2 (其中θ 为直线的倾斜角) ; sin θ ⑤ 1 1 2 + = ; |AF| |BF| p



x1+x2+p 2 = p p (x +x +p) 2 1 2 y A/ 由于点 A、B 知 , |AF| =

⑥ 过 A、B 两点作准线的垂线,垂足分别为 A/、B/,F 抛物线的焦点,则∠A/FB/=900; ⑦ 以弦 AB 为直径的圆与准线相切。 p p 证明:①当直线过焦点且垂直于 x 轴时,A( ,p) 、B( ,-p) ,因此 y1y2=-p2 成立; 2 2 当直线过焦点且不与 x 轴垂直时,显然直线的斜率 k≠0,直线 AB 的方程为: p y p y p y=k(x- ) ;由此的 x= + ;把 x= + 代入 y2=2px 消去 x 得: 2 k 2 k 2 ky -2py-kp =0,∴y1y2=-p ②∵A(x1,y1) 、B(x2,y2)两点都在抛物线 y2=2px(p>0)上, ∴y12=2px1,y22=2px2;两式相乘得(y1y2)2=2px1·2px2 ∴p4=4p2x1x2; p2 从而 x1x2= 4 p ③过 A、B 两点作准线 x=- 的垂线,垂足分别为 A/、B/, 2 p p 则|AB|=|AF|+|BF|=|AA/|+|BB/|=x1+ +x2+ =x1+x2+p 2 2 ④当θ =900 时,显然成立; p 当θ ≠900 时, ,则直线 AB 的方程为:y=k(x- ) ; 2 p kp 把 y=k(x- )代入 y2=2px 消去 y 得:k2x2-p(k2+2)x+ =0; 2 4 p(k2+2) p2 x1+x2= ,x1x2= ; 2 k 4 |AB|= 1+k |x1-x2|= 1+k 2p(1+tan θ ) 2p = = 2 。 tan2θ sin θ 1 1 1 1 ⑤∵A(x1,y1) 、B(x2,y2)∴ + = + |AF| |BF| p p x1+ x2+ 2 2 x1+x2+p x1+x2+p = =2 p p2 p p p2 x1x2+ (x1+x2)+ + (x1+x2)+ 2 4 4 2 4
4
2 2 2 2 2 2 2 2

⑥过 A、B 两点分别作准线的垂线,垂足分别为 A/、B/, 是抛物线上的点,F 是抛物线的焦点,根据抛物线的定义可 |AA/|,|BF|=|BB/| ∴∠B/BF=1800-2∠B/FB,∠A/AF=1800-2∠A/FA 由∵AA/∥BB/ ∴∠B/BF+∠A/AF=1800 即:1800-2∠B/FB+1800-2∠A/FA=1800 ∴∠B/FB+∠A/FA=900 ⑦设 N 为线段 AB 的中点,过 A、B、N 分别作准线的垂线, A/、B/、N/, |AA/|+|BB/| ∵N 为线段 AB 的中点,则|NN/|= 2 |AF|+|BF| |AB| = = 2 2 ∴以 AB 为直径的圆与准线相切。

A O B ⑥题图 y F x 垂足分别为

B/

A/ N/ B/ O B ⑦题图 N F

A x

典例精析 【题型一】利用抛物线的性质求抛物线的方程 【例 1】已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过 M (2, ? 2 2) ,求它的标准方程. 解:由题意可设抛物线的标准方程为 y 2 ? 2 px( p ? 0) . 因为点 M 在抛物线上,所以 ?2 2

?

?

2

? 2 p? 2, 即p ?2.

因此,所求抛物线的方程为 y 2 ? 4 x. 【变式训练】已知抛物线关于坐标轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过 M (2, ? 2 2) ,求它的标准 方程. 【题型二】有关焦点弦的问题 【例 3】斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y 2 ? 4x 的焦点,且与抛物线相交于 A、B 两点,求线段 AB 的长. 【审题要津】 求出抛物线的焦点后,写出直线方程的点斜式,和抛物线联立解交点,然后运用两点间的距 离公式求 AB 的长.

2p(1+k2) (x1+x2) -4x1x2 = k2
2

? y ? x ? 1, 解:抛物线 y ? 4x 的焦点为(1,0),直线 l 的方程为 y ? x ? 1 ,联立 ? 2 得 ? y ? 4 x.
2

已知抛物线 C: y 2 ? 4x ,设直线与抛物线两交点为 A、B,且线段 AB 中点为 M(2,1),求直线 l 的方 程.答案: y ? 2 x ? 3 【题型四】 直线与抛物线的位置关系 3. 直线与抛物线相切:直线与抛物线有且只有一个公共点,但不平行于抛物线的对称轴。即把 x=my +n 代入 y2=2px(p>0)消去 x 得:y2-2pmy-2pn=0①,当方程①的判别式△=0 ? 直线与抛 物线相切; 4. 直线与抛物线相交: (1)直线与抛物线只有一个交点:直线与抛物线的对称轴平行; (2)直线与抛物线有两个不同的交点 ? 方程①的判别式△>0; 4. 直线与抛物线相离 ? 方程①的判别式△<0。 例 4: 已知抛物线的方程为 y?=4x,直线 l 过定点 P(-2,1),斜率为 k,k 为何值时,直线 l 与抛物线 y?=4x: 只有一个公共点;有两个公共点;没有公共点?
解:由题意,设直线 l的方程为y ?1 ? k ( x ? 2). ? y ? 1 ? k ( x ? 2) 由方程组? y2 ? 4x ? 可得ky2 ? 4 y ? 4(2k ? 1) ? 0
(2)当k ? 0时,方程的判别式为 ?=?16(2k 2 ? k ?1).

? ? x1 ? 3 ? 2 2, ? ? ? y1 ? 2 ? 2 2,

? ? x2 ? 3 ? 2 2, ? ? ? y2 ? 2 ? 2 2.

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 AB ?

? x2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ?
2

2

=8.

【方法总结】 直线和圆锥曲线的弦长问题,可先联立方程组求交点坐标,然后运用两点间的距离公式 求解. 1 b? 变式训练:已知抛物线 y 2 ? 4x 截直线 y=x+b 所得弦长为 4,求 b 的值. 2 设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )

?y ? x ?b .解 : ? 消y得:x2 ? (2b ? 4) x ? b2 ? 0 2 ? y ? 4x
x1 ? x2 ? 4 ? 2b

x1 ? x2 ? b2

AB ? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 ? x2 ? 2 (4 ? 2b) 2 ? 4b 2 ? 4

【题型三】中点弦问题 例 3 :求直线 y=x-1 被抛物线 y 2 ? 4x 截得线段的中点坐标.

10由?=0,即2k 2 ? k ?1 ? 0
1 解得 k ? ?1, 或k ? . 2 1 即当k ? ?1,或k ? 时,方程组只有一个解 , 课堂练习: 2 过点 M (0,1) 且和抛物线 C: y 2 ? 4x 仅有一个公共点的 即直线与抛物线只有一 个公共点。

解法一: 设直线 y ? x ? 1 与抛物线 y 2 ? 4 x 交于 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 其中点 P( x0 , y0 ) ,由题意得 ? y 2
?y ? x ?1 , ? ? 4x

2 消去 y 得 ( x ? 1) ? 4x ,即 x 2 ? 6 x ? 1 ? 0 ,

直线的方程是__________________________.

20由? ? 0,即2k 2 ? k ?1 ? 0
1 解得 ? 1 ? k ? . 2 1 即当 ? 1 ? k ? , 且k ? 0时,方程组有两个解, 2 即直线与抛物线有两个 公共点。

x1 ? x2 所以 x0 ? 2 ? 3 , y0 ? x0 ? 1 ? 2 ,即中点坐标为 (3,2) 。 解法二:设直线 y ? x ? 1 与抛物线 y 2 ? 4x 交于 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,

? y1 2 ? 4 x1 其中点 P( x0 , y0 ) , 由题意得 ? y 2 ? 4 x 2 ? 2

, 两式相减得 y2 2 ? y12 ? 4( x2 ? x1 ) ,

( y 2 ? y1 )( y 2 ? y1 ) ? 4, 所以 x2 ? x1

30由? ? 0,即2k 2 ? k ? 1 ? 0
1 解得 k ? ?1,或 k ? . 2 1 即当k ? ?1或k ? 时,方程组没有实数解 , 2 即直线与抛物线没有公 共点。

所以 y1 ? y2 ? 4 ,即 y0 ? 2 , x0 ? y0 ? 1 ? 3 , 即中点坐标为 (3,2) 。

1 综上所述,当 k ? ?1,或k ? ,或k ? 0时, 2 即直线与抛物线只有一 个公共点。

变式训练:
5

1 当 ? 1 ? k ? , 且k ? 0时, 2 即直线与抛物线有两个 公共点。 1 当k ? ?1或k ? 时, 2 即直线与抛物线没有公 共点。


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