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数列基础知识


数列复习(一)基础知识总结
一.考纲要求: 考试内容:数列 等差数列及其通项公式,等差数列的前 n 项和公式 等比数列及其通项公式,等比数列的前 n 项和公式 考试要求: (1)理解数列的概念,了解数列通项公式的意义,了解递推公式是给出数列的一种 方法。 (2)理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式, 并能解决简单的实际问题。 (3)理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公 式与前 n 项和公式,并能解决简单的实际问题。 二、教学要求: 1.等差数列与等比数列是两种最基本、最重要及应用最广泛的数列,其他数列问题的解决往 往借助它们完成,或经过变形转化为等差或等比数列,或利用等差、等比数列的研究方法。所 以等差数列与等比数列的基础知识是数列中最基本、最重要也最易把握的知识。 2.数列的通项是数列最重要、最常见的表达形式,它是数列的核心。应弄清通项公式的意义 ——项数 的函数;理解通项公式的作用——可以用通项公式求数列的任意一项的值及对数列 进行一般性的研究。 3.数列的递推式是数列的另一种表达形式,要注重叠加、叠乘、迭代等解题技巧的训练。 4.数列求和的问题需要根据数列特点选择解决方法,必须掌握常用的数列求和方法,但数列 求和往往和其他知识综合在一起,综合性教强。 5.数列常与函数、不等式、解析几何、立体几何、导数、三角、向量、二项式等知识联系在 一起,以它的复杂多变、综合性强、解法灵活等特征成为高考的中档题或压轴题。 6.函数思想、方程思想、化归思想、分类讨论思想的应用比比皆是,因此要注意对数学思想 方法的挖掘。

一、等差数列与等比数列
等差数列 文 字 定 义 符 号 定 义 一般地,如果一个数列从第二项起,每一项 与它的前一项的差是同一个常数,那么这个 数列就叫等差数列,这个常数叫等差数列的 公差。 等比数列 一般地,如果一个数列从第二项起,每一项 与它的前一项的比是同一个常数, 那么这个 数列就叫等比数列, 这个常数叫等比数列的 公比。

an?1 ? an ? d
an ? an ?1 ? an ?1 2

an?1 ? q(q ? 0) an

an2 ? an?1 ? an?1 (an ? 0)
递增数列:a1 ? 0,q ? 1或a1 ? 0, 0 ? q ?1 递减数列:a1 ? 0,q ? 1或a1 ? 0, 0 ? q ?1

分 类

递增数列: d ? 0 递减数列: d ? 0 常数数列: d ? 0

摆动数列: q ? 0 常数数列: q ? 1

an ? a1 ? (n ?1)d ? pn ? q ? am ? (n ? m)d
通 项 其中 p ? d , q ? a1 ? d 前 n 项 和 中 项

an ? a1qn?1 ? amqn?m ( q ? 0 )

Sn ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1)d ? na1 ? ? pn 2 ? qn 2 2
其中 p ?

d d , q ? a1 ? 2 2

? a1 (1 ? q n ) (q ? 1) ? Sn ? ? 1 ? q ? na (q ? 1) ? 1

a, b, c成等差的充要条件:2b ? a ? c
等和性:等差数列 ?an ? 若 m ? n ? p ? q 则 am ? an ? ap ? aq

a, b, c成等比的必要不充分条件:b2 ? ac
等积性:等比数列 ?an ? 若 m ? n ? p ? q 则 am ? an ? a p ? aq 推论:若 m ? n ? 2 p 则 am ? an ? (a p )
2

主 要 推论:若 m ? n ? 2 p 则 am ? an ? 2a p 性 an?k ? an?k ? 2an 质

an?k ? an?k ? (an )2
a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? ???
即:首尾颠倒相乘,则积相等 1、等比数列中连续项的和,组成的新数列 是等比数列。即: sm , s2m ? sm , s3m ? s2m , ??? 等比,公比为 q 。 2、 从等比数列中抽取等距离的项组成的数 列是一个等比数列。 如: a1 , a4 , a7 , a10 , ??? (下标成等差数列) 3 、 ?an ? ,?bn ? 等比,则 ?a2 n ? , ?a2n?1? ,
m

a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? ???
即:首尾颠倒相加,则和相等 1、等差数列中连续 m 项的和,组成的新数 列是等差数列。即:
2 公差为 m d sm , s2m ? sm , s3m ? s2m , ??? 等差,



则有 s3m ? 3(s2m ? sm ) 2、从等差数列中抽取等距离的项组成的数 列是一个等差数列。 如: a1 , a4 , a7 , a10 , ??? (下标成等差数列) 3 、 ?an ? ,?bn ? 等差,则 ?a2 n ? , ?a2n?1? ,



?kan ? b? , ? pan ? qbn ? 也等差。
4、等差数列 ?an ? 的通项公式是 n 的一次函 数,即: an ? dn ? c ( d ? 0 ) 等差数列 ?an ? 的前 n 项和公式是一个没有 常数项的 n 的二次函数,

?kan ?
也等比。其中 k ? 0 4、等比数列的通项公式类似于 n 的指数函 数, 即: an ? cqn ,其中 c ?

a1 q



即: Sn ? An2 ? Bn ( d ? 0 ) 5、项数为奇数 2n ? 1 的等差数列有:

等比数列的前 n 项和公式是一个平移加 振 幅 的 n 的 指 数 函 数 , 即 :

sn ? cqn ? c(q ? 1)
5、等比数列中连续相同项数的积组成的新 数列是等比数列。

s奇 n ? s ? s ? an ? a中 s偶 n ? 1 奇 偶
s2n?1 ? (2n ?1)an
项数为偶数 2 n 的等差数列有: 质

s奇 a ? n , s偶 ? s奇 ? nd s偶 an?1
s2n ? n(an ? an?1 )
6、 an ? m, am ? n 则 am?n ? 0

sn ? sm 则 sm?n ? 0(n ? m)

sn ? m, sm ? n 则 sm?n ? ?(m ? n)
证 明 1、定义法: an?1 ? an ? d (常数) 方 法 2、中项法: an?1 ? an?1 ? 2an (n ? 2) 证明一个数列为等差数列的方法: 证明一个数列为等比数列的方法: 1、定义法:

an?1 ? q(常数) an
2

2、 中项法: an?1 ? an?1 ? (an)(n ? 2, an ? 0) 三数等比:

设 三数等差: a ? d , a, a ? d 元 技 四数等差: a ? 3d , a ? d , a ? d , a ? 3d 巧

a , a, aq或a, aq, aq 2 q
2 3

四数等比: a, aq, aq , aq

1、若数列 ?an ? 是等差数列,则数列 C 联 系

? ? 是等比数列,公比为 C
an

d

,其中 C 是常数,d 是

?an ? 的公差。
2、若数列 ?an ? 是等比数列,且 an ? 0 ,则数列 ?log a an ? 是等差数列,公差为 loga q , 其中 a 是常数且 a ? 0, a ? 1 , q 是 ?an ? 的公比。

(n ? 1) ?s 二、数列的项 an 与前 n 项和 Sn 的关系: an ? ? 1 ? sn ? sn ?1 (n ? 2)
三、数列求和的常用方法:
1、拆项分组法:即把每一项拆成几项,重新组合分成几组,转化为特殊数列求和。 2、错项相减法:适用于差比数列(如果 ?an ? 等差, ?bn ? 等比,那么 ?anbn ? 叫做差比数列) 即把每一项都乘以 ?bn ? 的公比 q ,向后错一项,再对应同次项相减,转化为等比数列求和。 3、裂项相消法:即把每一项都拆成正负两项,使其正负抵消,只余有限几项,可求和。 适用于数列 ?

? ? 1 ? 1 ? ? ? 和 ? ? ( 其 中 ?an ? 等 差 ) a ? a a ? a ? n n ?1 ? ? n ?1 ? ? n ?
?

可裂项为:

1 1 1 1 1 1 ? ( ? ), ? ( an?1 ? an ) an ? an ?1 d an an ?1 an ? an?1 d

四、等差数列前 n 项和的最值问题:
1、若等差数列 ?an ? 的首项 a1 ? 0 ,公差 d ? 0 ,则前 n 项和 Sn 有最大值。 (ⅰ)若已知通项 an ,则 Sn 最大 ? ?

? an ? 0 ; (ⅱ)若已知 Sn ? pn2 ? qn ,则当 n 取 ? an ?1 ? 0

最靠近 ?

q 的非零自然数时 Sn 最大;2、若等差数列 ?an ? 的首项 a1 ? 0 ,公差 d ? 0 , 2p
? an ? 0 ; ? an ?1 ? 0

则前 n 项和 Sn 有最小值(ⅰ)若已知通项 an ,则 Sn 最小 ? ?

(ⅱ)若已知 Sn ? pn ? qn ,则当 n 取最靠近 ?
2

q 的非零自然数时 Sn 最小; 2p


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