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2017-2018学年高中数学三维设计人教A版浙江专版必修5讲义:模块复习精要 模块综合检测

(时间 120 分钟

满分 150 分)

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.若 f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,则 f(x)与 g(x)的大小关系为( A.f(x)>g(x) C.f(x)<g(x)
2

)

B.f(x)=g(x) D.随 x 值变化而变化

解析:选 A 因为 f(x)-g(x)=(3x -x+1)-(2x2+x-1)=x2-2x+2=(x-1)2+1>0, 所以 f(x)>g(x). 2.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a= 2,b= 3,B=60°, 那么角 A 等于( A.135° C.45° 解析:选 C 由正弦定理知 ∴sin A= ) B.90° D.30° a b = , sin A sin B

asin B 2sin 60° 2 = . b = 2 3

又 a<b,B=60°,∴A<60°,∴A=45°. 3.若关于 x 的不等式 x2-3ax+2>0 的解集为(-∞,1)∪(m,+∞),则 a+m=( A.-1 C.2 B.1 D.3 )

解析:选 D 由题意,知 1,m 是方程 x2-3ax+2=0 的两个根,则由根与系数的关系,
? ? ?1+m=3a, ?a=1, 得? 解得? 所以 a+m=3,故选 D. ?1×m=2, ? ? ?m=2,

4.已知数列{an}为等差数列,且 a1=2,a2+a3=13,则 a4+a5+a6 等于( A.40 C.43 B.42 D.45

)

解析:选 B 设等差数列{an}的公差为 d, 则 2a1+3d=13,∴d=3, 故 a4+a5+a6=3a1+12d=3×2+12×3=42. 5.在△ABC 中,AC= 7,BC=2,B=60°,则 BC 边上的高等于( A. C. 3 2 3+ 6 2 3 3 B. 2 D. 3+ 39 4 )

解析:选 B 由余弦定理得 AB2+4-2· AB×2×cos 60°=7,解得 AB=3 或 AB=- 1 1 3 3 1(舍去), 设 BC 边上的高为 x, 由三角形面积关系得 · BC· x= AB· BC· sin 60°, 解得 x= , 2 2 2 故选 B. 6.某汽车公司有两家装配厂,生产甲、乙两种不同型的汽车,若 A 厂每小时可完成 1 辆甲型车和 2 辆乙型车;B 厂每小时可完成 3 辆甲型车和 1 辆乙型车.今欲制造 40 辆甲型 车和 40 辆乙型车, 若要使所费的总工作时数最少, 那么这两家工厂工作的时间分别为( A.16,8 C.17,7 B.15,9 D.14,10 )

解析:选 A 设 A 工厂工作 x 小时,B 工厂工作 y 小时,总工作时数为 z,则目标函数 x+3y≥40, ? ? 为 z=x+y,约束条件为?2x+y≥40, ? ?x≥0,y≥0

作出可行域如图所示,由图知当直线 l:y=-x+z

?x+3y=40, ? 过 Q 点时,z 最小,解方程组? 得 Q(16,8),故 A 厂工作 16 小时,B 厂工作 8 ? ?2x+y=40,

小时,可使所费的总工作时数最少.

7.若 log4(3x+4b)=log2 ab,则 a+b 的最小值是( A.6+2 3 C.6+4 3 B.7+2 3 D.7+4 3

)

1 1 解析: 选 D 由 log4(3a+4b)=log2 ab, 得 log2(3a+4b)= log2(ab), 所以 3a+4b=ab, 2 2 3 4 即 + =1. b a 3 4 ? 3a 4 b 3a 4b + = + +7≥4 3+7,当且仅当 = ,即 a=2 3+4,b 所以 a+b=(a+b)? b a ? ? b a b a =3+2 3时取等号,故选 D.
? ? ?a,a≥b, ?|x|≤2, 8.定义 max{a,b}=? 设实数 x,y 满足约束条件? 则 z=max{4x ?b,a<b, ?|y|≤2, ? ?

+y,3x-y}的取值范围是( A.[-8,10]

) B.[-7,10]

C.[-6,8] 解析: 选 B

D.[-7,8] 做出约束条件所表示的平面区域如图阴影部分所

示.令 4x+y≥3x-y,得 x≥-2y,当 x≥-2y 时,z=4x+y;当 x<- 2y 时,z=3x-y.在同一直角坐标系中作出直线 x+2y=0 的图象,如图 所示. 当(x, y)在平面区域 CDEF 内运动时(含边界区域), 此时 x≥-2y, 故 z=4x+y,可知目标函数 z=4x+y 在 D(2,2)时取到最大值 10,在 F(-2,1)时取到最小 值-7;当(x,y)在平面区域 ABCF 内运动时(含边界区域但不含线段 CF),此时 x<-2y,故 z=3x-y,可知目标函数 z=3x-y 在 B(2,-2)时取到最大值 8,在 F(-2,1)时 z=3x-y= -7,所以在此区域内-7<z≤8.综上所述,z=max{4x+y,3x-y}∈[-7,10],故选 B. 二、填空题(本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分.把答案填 在题中横线上) 9.若不等式|2x+a|<b 的解集为{x|1<x<4},则 ab 等于________. 解析:显然,当 b≤0 时,不合题意,当 b>0 时,由|2x+a|<b 可得-b<2x+a<b, -b-a =1, ? 2 -b-a b-a 所以 <x< ,因此? 2 2 b-a ? 2 =4, 答案:-15 10.在数列{an}中,Sn 为它的前 n 项和,已知 a2=3,a3=7,且数列{an+1}是等比数列, 则 a1=________,an=________,Sn=________. 解析:令 xn=an+1,则 x2=4,x3=8,因为{an+1}是等比数列,所以 xn=2n,即 an 2?1-2n? + =2 -1,a1=1,Sn= -n=2n 1-2-n. 1-2
n

? ?a=-5, 解得? 故 ab=-15. ?b=3, ?

答案:1 2n-1

2n 1-2-n


11.已知△ABC 的一个内角为 120°,并且三边长构成公差为 4 的等差数列,则△ABC 的面积为________. 解析:由于三边长构成公差为 4 的等差数列, 故可设三边长分别为 x-4,x,x+4. 由一个内角为 120°,知其必是最长边 x+4 所对的角. 由余弦定理得,(x+4)2=x2+(x-4)2-2x(x-4)· cos 120°, ∴2x2-20x=0,∴x=0(舍去)或 x=10, 1 ∴S△ABC= ×(10-4)×10×sin 120°=15 3. 2 答案:15 3 12.设 Sn 是数列{an}的前 n 项和,且 a1=-1,an+1=SnSn+1,则 Sn=________.

解析:∵an+1=Sn+1-Sn,an+1=SnSn+1, ∴Sn+1-Sn=SnSn+1. 1 1 1 1 ∵Sn≠0,∴S - =1,即 -S =-1. S S n n n+1 n+1
?1? 1 1 又 =-1,∴?S ?是首项为-1,公差为-1 的等差数列.∴ =-1+(n-1)×(-1) Sn S1 ? n?

1 =-n,∴Sn=-n. 1 答案:- n 2x-y≥0, ? ? 13.如果实数 x,y 满足?x+y-4≥0, ? ?x≤3, 值为________. 4 8? 解析: 画出可行域如图中阴影部分所示, 则 A? ?3,3?,B(3,6),C(3,1), y y 的几何意义是区域上的点与坐标原点连线的斜率, 所以 kOC≤ ≤kAB, 即 x x 1 y ≤ ≤2. 3 x x2+y2 x y 1 1 ? 因为 z= xy =y +x=k+k 在? ?3,1?单调递减,在[1,2]上单调递增, 1 10 当 k= 时,有 zmax= . 3 3 1 ? 10 答案:? ?3,2? 3 14.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2b- 3c cos C π = .若角 B= , cos A 6 3a x2+y2 y 则x的取值范围是________,z= xy 的最大

BC 边上的中线 AM= 7,则 A=________,△ABC 的面积为________. 2b- 3c cos C 2sin B- 3sin C cos C 解析: 由正弦定理及 = 得 = , 整理得 2sin Bcos A= 3 cos A cos A 3a 3sin A sin(A+C)= 3sin B,又 sin B≠0,所以 cos A= 3 π π ,又 A∈(0,π),所以 A= .又 B= , 2 6 6

b2 b2+ -7 4 2π 1 ∴a=b,△ACM 中,由余弦定理得 cos = =- ,解得 b=2,所以△ABC 的面 3 b2 2 1 3 积 S= ×2×2× = 3. 2 2 答案: π 6 3

x3+8y3 15.已知实数 x,y>0 且 xy=2,则 2 的最小值是________,此时 x=________, x +4y2+8 y=________. 解 析 : 因 为 x , y>0 且 xy = 2 , 由 于 x3+8y3 ?x+2y??x2-2xy+4y2? = = 2 x +4y +8 x2+4y2+4xy
2

?x+2y?[?x+2y?2-6xy] ?x+2y?2-12 12 = =(x+2y)- , 令 x+2y=t, 则 t=x+2y≥2 2xy= ?x+2y?2 ?x+2y? x+2y 12 12 4,有 t- t 在[4,+∞)上单调递增,所以当 t=4 时有最小值 4- =1,当且仅当 x=2,y 4 =1 时取等号. 答案:1 2 1

三、解答题(本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16.(14 分)等差数列{an}的前 n 项和记为 Sn,已知 a10=30,a20=50. (1)求通项 an; (2)若 Sn=242,求 n. 解:(1)设{an}的首项为 a1,公差为 d,
? ? ?a1+9d=30, ?a1=12, 则? 解得? ?a1+19d=50. ? ? ?d=2.

∴通项 an=a1+(n-1)d=10+2n. n?n-1? n?n-1? (2)由 Sn=na1+ d=242,得 12n+ ×2=242,解得 n=11,或 n=-22(舍 2 2 去).故 n=11. 17.(15 分)已知 f(x)=2x2+bx+c,不等式 f(x)<0 的解集是(0,5). (1)求 f(x)的解析式; (2)若对于任意的 x∈[-1,1],不等式 f(x)+t≤2 恒成立,求 t 的取值范围. 解:(1)因为 f(x)=2x2+bx+c,不等式 f(x)<0 的解集是(0,5), 所以 2x2+bx+c<0 的解集是(0,5), 所以 0 和 5 是方程 2x2+bx+c=0 的两个根, b c 由根与系数的关系,知- =5, =0, 2 2 所以 b=-10,c=0,所以 f(x)=2x2-10x. (2)对任意的 x∈[-1,1],f(x)+t≤2 恒成立等价于对任意的 x∈[-1,1],2x2-10x+t- 2≤0 恒成立. 设 g(x)=2x2-10x+t-2, 则由二次函数的图象可知 g(x)=2x2-10x+t-2 在区间[-1,1]上为减函数, 所以 g(x)max=g(-1)=10+t,所以 10+t≤0,即 t≤-10,所以 t 的取值范围为(-∞,

-10]. 18.(15 分)已知等差数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 S3=0,S5=-5. (1)求{an}的通项公式; (2)求数列?a 1 ? ?的前 n 项和. ? 2n-1a2n+1?
?

解:(1)设{an}的公差为 d,则 Sn=na1+

n?n-1? d. 2

? ?3a1+3d=0, 由已知可得? 解得 a1=1,d=-1. ?5a1+10d=-5. ?

故{an}的通项公式为 an=2-n. (2)由(1)知 1 1 = a2n-1a2n+1 ?3-2n??1-2n?

1 1 1 = ?2n-3-2n-1?, 2? ? 从而数列?a 1 ? 1 ?的前 n 项和为 a 2 ? 2n-1 2n+1?
?

n 1 1 1 1 1 1 - + - +…+ - = . (- ) 1 1 1 3 2n-3 2n-1 1-2n

19.(15 分)在△ABC 中,BC=6,点 D 在 BC 边上,且(2AC-AB)cos A=BCcos C. (1)求角 A 的大小; (2)若 AD 为△ABC 的中线,且 AC=2 3,求 AD 的长; (3)若 AD 为△ABC 的高,且 AD=3 3,求证:△ABC 为等边三角形. 解:(1)由(2AC-AB)cos A=BCcos C 及正弦定理,有(2sin B-sin C)cos A=sin Acos C, 1 得 2sin Bcos A=sin Ccos A+sin Acos C=sin(A+C)=sin B,所以 cos A= . 2 因为 0°<A<180°,所以 A=60°. BC AC ACsin A 1 (2)由正弦定理 = ,得 sin B= BC = . sin A sin B 2 因为 A+B<180°,所以 B=30°,所以 C=90°. 因为 D 是 BC 的中点,所以 DC=3, 由勾股定理,得 AD= AC2+DC2= 21. 1 1 3 (3)证明:因为 AD· BC= AB· ACsin A,且 AD=3 3,BC=6,sin A= ,所以 AB· AC 2 2 2 =36. 因为 BC2=AB2+AC2-2AB· ACcos A, 所以 AB2+AC2=72,所以 AB=AC=6=BC, 所以△ABC 为等边三角形. 20.(15 分)(全国丙卷)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=1+λan,其中 λ≠0. (1)证明{an}是等比数列,并求其通项公式;

31 (2)若 S5= ,求 λ. 32 解:(1)证明:由题意得 a1=S1=1+λa1, 故 λ≠1,a1= 1 ,故 a1≠0. 1- λ

由 Sn=1+λan,Sn+1=1+λan+1 得 an+1=λan+1-λan, 即 an+1(λ-1)=λan. an+1 λ 由 a1≠0,λ≠0 得 an≠0,所以 a = . λ-1 n λ 1 因此{an}是首项为 ,公比为 的等比数列, 1-λ λ-1 于是 an= 1 ? λ ?n-1 . 1-λ?λ-1?

λ (2)由(1)得 Sn=1-?λ-1?n.

?

?

λ λ 31 31 1 由 S5= 得 1-?λ-1?5= ,即?λ-1?5= . 32 ? ? 32 ? ? 32 解得 λ=-1.


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