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高中数学必修4三角函数知识点与题型总结


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三角函数典型考题归类
高一数学知识总结 必修一 一、集合 一、集合有关概念 1. 集合的含义 2. 集合的中元素的三个特性: (1) 元素的确定性如:世界上最高的山 (2) 元素的互异性如:由 HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3) 元素的无序性: 如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示:{ ? } 如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1) 用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2) 集合的表示方法:列举法与描述法。 ? 注意:常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集) 记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 1) 列举法:{a,b,c??} 2) 描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。 {x?R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3) 语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} 4) Venn 图: 4、集合的分类: (1) 有限集 含有有限个元素的集合 (2) 无限集 含有无限个元素的集合 2 (3) 空集 不含任何元素的集合 例:{x|x =-5} 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意: A ? B 有两种可能(1)A 是 B 的一部分,;(2)A 与 B 是同一集合。

? B 或 B? ?A 反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 A ? 2.“相等”关系:A=B (5≥5,且 5≤5,则 5=5) 2 实例:设 A={x|x -1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即:① 任何一个集合是它本身的子集。A?A
②真子集:如果 A?B,且 A? B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集,记作 A ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④ 如果 A?B 同时 B?A 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。 n n-1 ? 有 n 个元素的集合,含有 2 个子集,2 个真子集 二、函数 1、函数定义域、值域求法综合 2.、函数奇偶性与单调性问题的解题策略 3、恒成立问题的求解策略 4、反函数的几种题型及方法

B(或 B

A)

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5、二次函数根的问题——一题多解 &指数函数 y=a^x a^a*a^b=a^a+b(a>0,a、b 属于 Q) (a^a)^b=a^ab(a>0,a、b 属于 Q) (ab)^a=a^a*b^a(a>0,a、b 属于 Q) 指数函数对称规律: 1、函数 y=a^x 与 y=a^-x 关于 y 轴对称 2、函数 y=a^x 与 y=-a^x 关于 x 轴对称 3、函数 y=a^x 与 y=-a^-x 关于坐标原点对称 &对数函数 y=loga^x 如果 a ? 0 ,且 a ? 1 , M ? 0 , N ? 0 ,那么: 1 loga (M ? N ) ? loga M + loga N ; ○

M ? loga M - loga N ; N 3 loga M n ? n loga M ( n ? R ) . ○
2 log a ○ 注意:换底公式

loga b ?

logc b ( a ? 0 ,且 a ? 1 ; c ? 0 ,且 c ? 1 ; b ? 0 ). logc a
?

幂函数 y=x^a(a 属于 R) 1、幂函数定义:一般地,形如 y ? x (a ? R) 的函数称为幂函数,其中 ? 为常数. 2、幂函数性质归纳. (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义并且图象都过点(1,1); (2)? ? 0 时,幂函数的图象通过原点,并且在区间 [0,??) 上是增函数.特别地,当 ? ? 1 时,幂函数的图象下凸;当 0 ? ? ? 1时,幂函数的图象上凸; (3) ? ? 0 时,幂函数的图象在区间 (0,??) 上是减函数.在第一象限内,当 x 从右边趋向 原点时,图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴正半轴,当 x 趋于 ? ? 时,图象在 x 轴上方无限地 逼近 x 轴正半轴. 方程的根与函数的零点 1 、函数零点的概念:对于函数 y ? f ( x)(x ? D) ,把使 f ( x) ? 0 成立的实数 x 叫做函数

y ? f ( x)(x ? D) 的零点。 2、 函数零点的意义: 函数 y ? f ( x) 的零点就是方程 f ( x) ? 0 实数根, 亦即函数 y ? f ( x) 的 图象与 x 轴交点的横坐标。 即:方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴有交点 ? 函数 y ? f ( x) 有零
点. 3、函数零点的求法: 1 (代数法)求方程 f ( x) ? 0 的实数根; ○ 2 (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 y ? f ( x) 的图象联系起来,并 ○ 利用函数的性质找出零点. 4、二次函数的零点: 二次函数 y ? ax ? bx ? c(a ? 0) .
2

(1)△>0,方程 ax ? bx ? c ? 0 有两不等实根,二次函数的图象与 x 轴有两个交点,二 次函数有两个零点.
2

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(2)△=0,方程 ax ? bx ? c ? 0 有两相等实根,二次函数的图象与 x 轴有一个交点,二 次函数有一个二重零点或二阶零点.
2

(3)△<0,方程 ax ? bx ? c ? 0 无实根,二次函数的图象与 x 轴无交点,二次函数无零点.
2

三、平面向量 向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为 0 的向量. 单位向量:长度等于 1 个单位的向量. 相等向量:长度相等且方向相同的向量 &向量的运算 加法运算 AB+BC=AC,这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。 已知两个从同一点 O 出发的两个向量 OA、OB,以 OA、OB 为邻边作平行四边形 OACB,则以 O 为起点的对角线 OC 就是 向量 OA、OB 的和,这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则。 对于零向量和任意向量 a,有:0+a=a+0=a。 |a+b|≤|a|+|b|。 向量的加法满足所有的加法运算定律。 减法运算 与 a 长度相等,方向相反的向量,叫做 a 的相反向量,-(-a)=a,零向量的相反向量仍然是零向量。 (1)a+(-a)=(-a)+a=0(2)a-b=a+(-b)。 数乘运算 实数λ 与向量 a 的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λ a,|λ a|=|λ ||a|,当λ 和 a 的方向相同,当λ < 0 时,λ a 的方向和 a 的方向相反,当λ = 0 时,λ a = 0。 > 0 时,λ a 的方向

设λ 、μ 是实数,那么:(1)(λ μ )a = λ (μ a)(2)(λ μ )a = λ a μ a(3)λ (a ± b) = λ a ± λ b(4)(- λ )a =-(λ a) = λ (-a)。 向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算。 向量的数量积 已知两个非零向量 a、b,那么|a||b|cos θ 叫做 a 与 b 的数量积或内积,记作 a?b,θ 是 a 与 b 的夹角,|a|cos θ (|b|cos θ )叫做向量 a 在 b 方向上(b 在 a 方向上)的投影。零向量与任意向量的数量积为 0。 a?b 的几何意义:数量积 a?b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ 的乘积。 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。 四、三角函数 1、善于用“1“巧解题 2、三角问题的非三角化解题策略 3、三角函数有界性求最值解题方法 4、三角函数向量综合题例析

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5、三角函数中的数学思想方法 15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质: 性 函 质 数 y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

图 象

定 义 域 值 域

R

R

? ? ? ? x x ? k? ? , k ? ?? 2 ? ?

??1,1?
当 x ? 2k? ? 时 ,

??1,1?
? k ? ??
当 x ? 2k? ? k ??? 时,

R

?
2

最 值

ymax ? 1 ; 当

ymax ? 1 ;当 x ? 2k? ? ?

x ? 2k? ?

?
2

? k ? ? ? 时, ymin ? ?1.
2?

既无最大值也无最小值

? k ? ? ? 时, ymin ? ?1.
周 期 性 奇 偶 性

2?

?

奇函数

偶函数

奇函数

在 ? 2k? ? 单 调 性

? ?

?
2

, 2k? ?

??
2? ?
在 ?2k? ? ? ,2k? ? ? k ??? 上 是 增 函 数 ; 在 在 ? k? ?

? k ? ? ? 上是增函数;在
? 3? ? ? 2 k? ? , 2 k? ? ? ? 2 2 ? ?

?2k? ,2k? ? ? ?
? k ? ? ? 上是减函数.
对 称 中 心

? ?

?
2

, k? ?

??
? 2?

? k ? ? ? 上是增函数.

? k ? ? ? 上是减函数.
对 称 性 对称中心 ? k? ,0?? k ??? 对 称 轴 对 称 中 心

? ? ? ? k? ? , 0 ? ? k ? ? ? 2 ? ?

? k? ? , 0 ? ? k ? ?? ? ? 2 ?

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x ? k? ?

?
2

?k ? ??

对称轴 x ? k? ? k ?? ?

无对称轴

必修四 角 ? 的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称 ? 为第几象限角.

? ? 第二象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 90 ? k ? 360 ? 180 , k ? ?? 第三象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 180 ? ? ? k ? 360 ? 270 , k ? ?? 第四象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 270 ? ? ? k ? 360 ? 360 , k ? ?? 终边在 x 轴上的角的集合为 ?? ? ? k ?180 , k ? ?? 终边在 y 轴上的角的集合为 ?? ? ? k ?180 ? 90 , k ? ?? 终边在坐标轴上的角的集合为 ?? ? ? k ? 90 , k ? ?? 3、与角 ? 终边相同的角的集合为 ?? ? ? k ? 360 ? ? , k ? ??
第一象限角的集合为 ? k ? 360 ? ? ? k ? 360 ? 90 , k ? ?
? ? ? ? ? ? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

4、已知 ? 是第几象限角,确定

?

? n ? ? ? 所在象限的方法:先把各象限均分 n 等份,再从 x 轴的正半轴的上方起, n
*

依次将各区域标上一、二、三、四,则 ? 原来是第几象限对应的标号即为 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度. 口诀:奇变偶不变,符号看象限. 公式一: 设α 为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin(2kπ +α )=sinα cos(2kπ +α )=cosα tan(2kπ +α )=tanα cot(2kπ +α )=cotα 公式二: 设α 为任意角,π α 的三角函数值与α 的三角函数值之间的关系: sin(π +α )=-sinα cos(π +α )=-cosα tan(π +α )=tanα cot(π +α )=cotα 公式三:

? 终边所落在的区域. n

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任意角α 与 -α 的三角函数值之间的关系: sin(-α )=-sinα cos(-α )=cosα tan(-α )=-tanα cot(-α )=-cotα 公式四: 利用公式二和公式三可以得到π -α 与α 的三角函数值之间的关系: sin(π -α )=sinα cos(π -α )=-cosα tan(π -α )=-tanα cot(π -α )=-cotα 公式五: 利用公式一和公式三可以得到2π -α 与α 的三角函数值之间的关系: sin(2π -α )=-sinα cos(2π -α )=cosα tan(2π -α )=-tanα cot(2π -α )=-cotα 公式六: π /2±α 及3π /2±α 与α 的三角函数值之间的关系: sin(π /2+α )=cosα cos(π /2+α )=-sinα tan(π /2+α )=-cotα cot(π /2+α )=-tanα sin(π /2-α )=cosα cos(π /2-α )=sinα tan(π /2-α )=cotα cot(π /2-α )=tanα sin(3π /2+α )=-cosα cos(3π /2+α )=sinα tan(3π /2+α )=-cotα cot(3π /2+α )=-tanα sin(3π /2-α )=-cosα

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cos(3π /2-α )=-sinα tan(3π /2-α )=cotα cot(3π /2-α )=tanα (以上 k∈Z)

其他三角函数知识: 同角三角函数基本关系 ⒈同角三角函数的基本关系式 倒数关系: tanα ?cotα =1 sinα ?cscα =1 cosα ?secα =1 商的关系: sinα /cosα =tanα =secα /cscα cosα /sinα =cotα =cscα /secα 平方关系: sin^2(α )+cos^2(α )=1 1+tan^2(α )=sec^2(α ) 1+cot^2(α )=csc^2(α )

两角和差公式 ⒉两角和与差的三角函数公式 sin(α +β )=sinα cosβ +cosα sinβ sin(α -β )=sinα cosβ -cosα sinβ cos(α +β )=cosα cosβ -sinα sinβ cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ tanα +tanβ tan(α +β )=—————— 1-tanα ?tanβ tanα -tanβ tan(α -β )=—————— 1+tanα ?tanβ

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倍角公式 ⒊二倍角的正弦、余弦和正切公式(升幂缩角公式) sin2α =2sinα cosα cos2α =cos^2(α )-sin^2(α )=2cos^2(α )-1=1-2sin^2(α ) 2tanα tan2α =————— 1-tan^2(α )

半角公式 ⒋半角的正弦、余弦和正切公式(降幂扩角公式) 1-cosα sin^2(α /2)=————— 2 1+cosα cos^2(α /2)=————— 2 1-cosα tan^2(α /2)=————— 1+cosα

万能公式 ⒌万能公式 2tan(α /2) sinα =—————— 1+tan^2(α /2) 1-tan^2(α /2)

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cosα =—————— 1+tan^2(α /2) 2tan(α /2) tanα =—————— 1-tan^2(α /2) ⒏三角函数的积化和差公式 sinα ?cosβ =0.5[sin(α +β )+sin(α -β )] cosα ?sinβ =0.5[sin(α +β )-sin(α -β )] cosα ?cosβ =0.5[cos(α +β )+cos(α -β )] sinα ?sinβ =- 0.5[cos(α +β )-cos(α -β )] 判别式 b2-4ac=0 注:方程有两个相等的实根 b2-4ac>0 注:方程有两个不等的实根 b2-4ac<0 注:方程没有实根,有共轭复数根 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA) 倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a 半角公式 sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2) cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2) tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) 和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB

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ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB 某些数列前 n 项和 1+2+3+4+5+6+7+8+9+?+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+?+(2n-1)=n2 2+4+6+8+10+12+14+?+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+?+n2=n(n+1)(2n+1)/6 13+23+33+43+53+63+?n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+?+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注: 其中 R 表示三角形的外接圆半径 余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注:角 B 是边 a 和边 c 的夹角 圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注:(a,b)是圆心坐标 圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注:D2+E2-4F>0 抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py 直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c'*h 正棱锥侧面积 S=1/2c*h' 正棱台侧面积 S=1/2(c+c')h' 圆台侧面积 S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2 圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l 弧长公式 l=a*r a 是圆心角的弧度数 r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r 锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h 斜棱柱体积 V=S'L 注:其中,S'是直截面面积, L 是侧棱长 柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h sin30:二分之一 sin45:二分之根二 sin60:二分之根三 cos30:二分之根三 cos45:二分之根二 cos60:二分之一 tan30:三分之根三 cos45:一 tan60:根三 等比数列: 若 q=1 则 S=n*a1 若 q≠1 推倒过程: S=a1+a1*q+a1*q^2+??+a1*q^(n-1) 等式两边同时乘 q S*q=a1*q+a1*q^2+a1*q^3+??+a1*q^ 1式-2式 有 S=a1*(1-q^n)/(1-q)

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等差数列 推导过程: S=a1+(a1+d)+(a1+2d)+??(a1+(n-1)*d) 把这个公式倒着写一遍 S=(a1+(n-1)*d) +(a1+(n-2)*d)+(a1+(n-3)*d)+??+a1 上两式相加有 S=(2a1+(n-1)d)*n/2=n*a1+n*(n-1)*d/2

1.根据解析式研究函数性质 例 1(天津理)已知函数 f ( x) ? 2cos x(sin x ? cos x) ? 1 ,x ? R . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期;(Ⅱ)求函数 f ( x) 在区间 ? , ? 上的最小值和最大值. 8 4 【相关高考 1】(湖南文)已知函数 f ( x) ? 1 ? 2sin 2 ? x ?

? π 3π ? ? ?

? ?

π? π? π? ? ? ? ? 2sin ? x ? ? cos ? x ? ? . 8? 8? 8? ? ?

求:(I)函数 f ( x) 的最小正周期;(II)函数 f ( x) 的单调增区间. 【相关高考 2】(湖南理)已知函数 f ( x) ? cos 2 ? x ?

? ?

1 π? ? , g ( x) ? 1 ? 2 sin 2 x . 12 ?

(I)设 x ? x0 是函数 y ? f ( x) 图象的一条对称轴,求 g ( x0 ) 的值.(II)求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调递增区 间. 2.根据函数性质确定函数解析式

0 ? ≤ ) 的图象与 y 轴相交于点 (0,3) ,且该函数的 例 2(江西)如图,函数 y ? 2 cos(? x ? ? )( x ? R,? > 0,≤
最小正周期为 ? . (1)求 ? 和 ? 的值;

π 2

y
3
O

?π ? (2)已知点 A ? , 0 ? ,点 P 是该函数图象上一点,点 Q( x0,y0 ) 是 PA 的中点, ?2 ?
当 y0 ?

P

A

x

3 ?π ? , x0 ? ? ,π ? 时,求 x0 的值. 2 ?2 ?

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【相关高考 1】(辽宁)已知函数 f ( x) ? sin ? ? x ?

? ?

π? π? ? 2 ?x ,x ? R (其中 ? ? 0 ),(I) ? ? sin ? ? x ? ? ? 2cos 6? 6? 2 ?
π ,求函数 2

求函数 f ( x) 的值域; (II)(文)若函数 y ? f ( x) 的图象与直线 y ? ?1 的两个相邻交点间的距离为

y ? f ( x) 的单调增区间.
(理) 若对任意的 a ? R , 函数 y ? f ( x) ,x ? (a,a ? π] 的图象与直线 y ? ?1 有且仅有两个不同的交点, 试确定 ? 的值(不必证明),并求函数 y ? f ( x),x ? R 的单调增区间. 【相关高考 2】(全国Ⅱ)在 △ ABC 中,已知内角 A ?

? ,边 BC ? 2 3 .设内角 B ? x ,周长为 y . ?

(1)求函数 y ? f ( x) 的解析式和定义域;(2)求函数 y ? f ( x) 的最大值. 3.三角函数求值 例 3(四川)已知 cosα =
1 π 13 ,cos(α -β )= ,且 0<β <α < ,(Ⅰ)求 tan2α 的值;(Ⅱ)求 β . 7 2 14

【相关高考 1】(重庆文)已知函数 f(x)=

?? ? 2 cos? 2 x ? ? 4? ?
sin(x ?

?

.(Ⅰ)求 f(x)的定义域;(Ⅱ)若角 a 在第一象限,且

2

)

3 cos a ? , 求f(a)。 5

【相关高考 2】(重庆理)设 f ( x ) = 6 cos x ? 3 sin 2 x (1)求 f( x )的最大值及最小正周期;(2)若锐角 ? 满
2

足 f (? ) ? 3 ? 2 3 ,求 tan

4 ? 的值. 5

4.三角形中的函数求值 例 4(全国Ⅰ)设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, a ? 2b sin A . (Ⅰ)求 B 的大小;(文)(Ⅱ)若 a ? 3 3 , c ? 5 ,求 b.(理)(Ⅱ)求 cos A ? sin C 的取值范围. 【相关高考 1】(天津文)在 △ ABC 中,已知 AC ? 2 , BC ? 3 , cos A ? ? (Ⅰ)求 sin B 的值;(Ⅱ)求 sin ? 2 B ?

4 . 5

? ?

?? ? 的值. 6?
1 3 ,tan B ? . (Ⅰ) 求角 C 的大小;文 (Ⅱ)若 AB 边的长为 17 , 4 5

【相关高考 2】 (福建)在 △ ABC 中,tan A ?

求 BC 边的长.理(Ⅱ)若 △ ABC 最大边的边长为 17 ,求最小边的边长. 5.三角与平面向量 例 5(湖北理)已知 △ ABC 的面积为 3 ,且满足 0≤ AB ? AC ≤ 6 ,设 AB 和 AC 的夹角为 ? .(I)求 ? 的取值范

??? ?

????

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围; (II)求函数 f (? ) ? 2sin 2 ?

?π ? ? ? ? ? 3 cos 2? 的最大值与最小值. ?4 ?

【相关高考 1】(陕西)设函数 f ?x? ? a ? b ,
?? ? 其中向量 a ? (m, cos2x),b ? (1 ? sin 2x,1), x ? R ,且函数 y=f(x)的图象经过点 ? ,2 ? , ?4 ? (Ⅰ)求实数 m 的值;(Ⅱ)求函数 f(x)的最小值及此时 x 的值的集合. 【相关高考2】(广东)已知Δ ABC三个顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、C( c ,0).

(文)(1)若 AB ? AC ? 0 ,求 c 的值;(理)若∠A 为钝角,求 c 的取值范围;(2)若 c ? 5 ,求 sin∠A 的值. 6 三角函数中的实际应用 例 6(山东理)如图,甲船以每小时 30 2 海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于 A 1 处时,乙船位于甲船的北偏西 105 方向的 B1 处,此时两船相距 20 海里,当甲船航行 20 分钟到达 A2 处时,乙船航行 到甲船的北偏西 120? 方向的 B2 处,此时两船相距 10 2 海里,问乙船每小时航行多少海里? 【相关高考】(宁夏)如图,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个侧点 C 与 D .现测 得 ?BCD ? ?,?BDC ? ?,CD ? s ,并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 ? ,求塔高 AB . 北
?

120? A 2

B2 B1
乙 7.三角函数与不等式 例 7(湖北文)已知函数 f ( x) ? 2sin 2 ?

105? A 1


?π ? ?π π? ? x ? ? 3 cos 2 x , x ? ? , ? .(I)求 f ( x) 的最大值和最小值; ?4 ? ?4 2?

(II)若不等式 f ( x) ? m ? 2 在 x ? ? , ? 上恒成立,求实数 m 的取值范围. 4 2 8.三角函数与极值
2 例 8(安徽文)设函数 f ? x ? ? ? cos x ? 4t sin

?π π? ? ?

x x cos ? 4t 3 ? t 2 ? 3t ? 4, x ? R 2 2

其中 t ≤1,将 f ?x ? 的最小值记为 g(t). (Ⅰ)求 g(t)的表达式;(Ⅱ)讨论 g(t)在区间(-1,1)内的单调性并求极值. 三角函数易错题解析

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例题 1 已知角 ? 的终边上一点的坐标为( sin A、 例题 2

5? 6

B、

2? 3

C、

5? 3

2? 2? , cos ),则角 ? 的最小值为( 3 3 11? D、 6
2

)。

A,B,C 是 ? ABC 的三个内角,且 tan A, tan B 是方程 3x ? 5 x ? 1 ? 0 的两个实数根,则 ? ABC 是( A、钝角三角形
2



B、锐角三角形

C、等腰三角形

D、等边三角形

例题 3 已知方程 x ? 4ax ? 3a ? 1 ? 0 (a 为大于 1 的常数)的两根为 tan ? , t an ? , 且? 、 ? ? ? ?

? ?? ? ? ?? 的值是_________________. , ? ,则 tan 2 ? 2 2?

例题 4 函数 f( 的最大值为 3,最小值为 2,则 a ______, b ? _______。 ? x ) ? a s i n x ? b

sin x cos x 的值域为______________。 1 ? sin x ? cos x 2 ? sin 2 ? ? 3sin ? , 则sin 2 ? ? sin 2 ? 的取值范围是 例题 6 若 2sin α
例题 5 函数 f(x)= 例题 7 已知 ? 的最小值及最大值。 ?????,求 y ? c o s ? ? 6 s i n ? 例题 8 求函数 f ( x) ?

2 tan x 的最小正周期。 1 ? tan 2 x

例题 9 求函数 f ( x) ? sin 2 x ? 2 2 cos(

?

4

? x) ? 3 的值域
3 4

例题 10 已知函数 f ( x) ? sin(?x ? ?)(? ? 0,0 ≤ ? ≤ ? ) 是 R 上的偶函数,其图像关于点 M ( ? ,0) 对称,且在区 间[0,

? ]上是单调函数,求 ? 和 ? 的值。 2
2011 三角函数集及三角形高考题

1.(2011 年北京高考 9)在 ? ABC 中,若

b ? 5, ?B ?

?
4

,sin A ?

1 3 ,则 a ?

.

in A c o s 2. (2011 年浙江高考 5) .在 ?ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分 a , b, c .若 a cos A ? b sin B , 则s

Ac o ? s

2

B ?

1 (A)- 2

1 (B) 2

(C) -1

(D) 1

? 3.(2011 年全国卷 1 高考 7)设函数 f ( x) ? cos ? x(? ? 0) ,将 y ? f ( x) 的图像向右平移 3 个单位长度后,所得的
图像与原图像重合,则 ? 的最小值等于

1 (A) 3

(B) 3

(C) 6

(D) 9

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5.(2011 年江西高考 14)已知角 ? 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的正半轴,若

p ? 4, y ?

是角 ? 终边上一点,且

sin ? ? ?

2 5 5 ,则 y=_______.

f ( x) ? f ( ) f ( x ) ? sin(2 x ? ? ) ? 6 对 x ? R 恒成立,且 6 .( 2011 年安徽高考 9 )已知函数 ,其中 为实数,若
f ( ) ? f (? ) 2 ,则 f ( x) 的单调递增区间是

?

?

? ?? ? k? ? , k? ? ? ( k ? Z ) ? 3 6? (A) ?

?? ? k? , k ? ? ? ( k ? Z ) ? 2? (B) ?
? ? ? k? ? , k ? ? ( k ? Z ) ? 2 ? (D) ?

? 2? ? ? k? ? , k ? ? (k ? Z ) ? ? 6 3 ? ? (C)

2 2 2 7.(2011 四川高考 8)在△ABC 中, sin A ? sin B ? sin C ? sin B sin C ,则 A 的取值范围是

(0, ] (A) 6

?

[ ,? ) (B) 6

?

(0, ] (C) 3

?

[ ,? ) (D) 3

?

f ( x) ? 4 cos x sin( x ?
1.(2011 年北京高考 17)已知函数

?
6

) ? 1.

? ? ?? ? , ? ? f ( x ) f ( x ) 6 4 ? 上的最大值和最小值。 ? (Ⅰ)求 的最小正周期;(Ⅱ)求 在区间
cos A ? 2 cos C 2c ? a ? cos B b , 3. (2011 年山东高考 17) 在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知
sin C 1 cos B ? , b ? 2 4 (Ⅰ)求 sin A 的值;(Ⅱ)若 ,求 ?ABC 的面积 S。
5. (2011 年全国卷高考 18) △ABC 的内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c.己知 a sin A ? csin C ? 2a sin C ? bsin B . (Ⅰ)求 B;(Ⅱ)若 A ? 75 , b ? 2, 求a,c .
0

6.(2011 年湖南高考 17)在 ? ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c 且满足 c sin A ? a cos C.

3 sin A ? cos( B ? ) 4 的最大值,并求取得最大值时角 A, B 的大小. (I)求角 C 的大小;(II)求

?

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1 ? f ( x) ? 2sin( x ? ) 3 6 , x? R . 7.(2011 年广东高考 16)已知函数

f(
(1)求

? ?? 5? ? , ? ? ?0, ? f (3? ? ? ) ? 10 f (3? ? 2? ) ? 6 ) ? 2?, 4 的值;(2)设 2 13 , 5 ,求 cos(? ? ? ) 的值.
f ( x) ? sin( x ? 7? 3? ) ? cos( x ? ) 4 4 ,x ? R. cos(? ? ? ) ? 4 4 ? cos(? ? ? ) ? ? 0 ?? ? ? ? 5, 5, 2 .求证:

8.(2011 年广东高考 18)已知函数

(Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期和最小值;(Ⅱ)已知
[ f (? )]2 ? 2 ? 0 .

9.(2011 年江苏高考 17)在△ABC 中,角 A、B、C 所对应的边为 a, b, c

sin( A ?
(1)若

?
6

) ? 2 cos A,

1 cos A ? , b ? 3c 3 求 A 的值;(2)若 ,求 sin C 的值.

b 2 10.(2011 高考)△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,asinAsinB+bcos A= 2 a。(I)求 a ;(II)
2 2 2 若 c =b + 3 a ,求 B。

1 a? 1 ,b?2 ,c o sC? 4 11. (2011 年湖北高考 17)设 ?ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,已知

) 的值。 (I) 求 ?ABC 的周长;(II)求 cos(A?C
cos 2C ? ?
12. (2011 年浙江高考 18)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,已知 (I)求 sinC 的值;(Ⅱ)当 a=2, 2sinA=sinC 时,求 b 及 c 的长. 2011 三角函数集及三角形高考题答案

1 4

1.(2011 年北京高考 9)在 ? ABC 中,若

b ? 5, ?B ?

?
4

,sin A ?

1 3 ,则 a ?

.

a 5 5 2 ? ,a ? a b ? 1 5 2 1 ? 3 ? b ? 5, ?B ? ,sin A ? sin 4 4 3 所以 3 【答案】 3 【解析】:由正弦定理得 sin A sin B 又
in A c o s 2. (2011 年浙江高考 5) .在 ?ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分 a , b, c .若 a cos A ? b sin B , 则s Ac o ? s
2

B ?

1 (A)- 2

1 (B) 2

(C) -1

(D) 1

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2 【答案】D【解析】∵ a cos A ? b sin B ,∴ sin A cos A ? sin B ,

∴ sin A cos A ? cos B ? sin B ? cos B ? 1 .
2 2 2

? y ? f ( x ) f ( x ) ? cos ? x ( ? ? 0) 3.(2011 年全国卷 1 高考 7)设函数 ,将 的图像向右平移 3 个单位长度后,所得的
图像与原图像重合,则 ? 的最小值等于

1 (A) 3

(B) 3

(C) 6

(D) 9

? ? 【解析】由题意将 y ? f ( x) 的图像向右平移 3 个单位长度后,所得的图像与原图像重合,说明了 3 是此函数周期的
2?
整数倍,得 ?

?k ?

?
3

(k ? Z )

? ?6. ,解得 ? ? 6 k ,又 ? ? 0 ,令 k ? 1 ,得 min

4.(2011 全国卷),设函数

(A)y= 对称



单调递增,其图像关于直线

对称(B)y=



单调递增,其图像关于直线

π π π (C)y= f (x) 在(0, 2 )单调递减,其图像关于直线 x = 4 对称(D)y= f (x) 在(0, 2 )单调递减,其图像 π 关于直线 x = 2 对称

? π π 解析:解法一:f(x)= 2 sin(2x+ 2 )= 2 cos2x.所以 f(x) 在(0, 2 )单调递减,其图像关于直线 x = 2 对称。
故选 D。 5.(2011 年江西高考 14)已知角 ? 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的正半轴,若

p ? 4, y ?

是角 ? 终边上一点,且

sin ? ? ?

2 5 5 ,则 y=_______.
角为第四象限角。

答案:—8. 解析:根据正弦值为负数,判断角在第三、四象限,再加上横坐标为正,断定该

sin ? ?

y 2 5 对边 ?? 2 5 ? y ? ?8 斜边 = 16 ? y

f ( x) ? f ( ) f ( ) ? sin( ?? ? ) 1 6 对 x? R 恒成立,则 6 3 6 . ( 2011 年 湖 南 高 考 9 ) 【 解 析 】 若 ,所以

?

?

?

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?
3 ? ? ? k? ?

?
2

,k ?Z


? ? k? ?

?
6

,k ?Z

f ( ) ? f (? ) ? ? ? ),即 2 .由 ,( k ? Z ),可知 sin(? ? ? ) ? sin(2
? , 代 入 f ( x) s i n? x( ? 2 , 得)

?

sin? ? 0 , 所 以
2 k? ?

? ?( 2 k? ? 1? )

?
6

k ?, Z

f ( x) ? ? s i n x(?2 ) 6 , 由

?

?
2

剟 2x ?

?
6

2 ?k?

? 3 ? k? ? 剟 x 6 2 ,得

k? ?

2? 3 ,故选 C.

b2 ? c 2 ? a 2 1 ? 2 2 2 2 2 2 2bc 2, 7.(2011 四川高考 8)解析:由 sin A ? sin B ? sin C ? sin B sin C 得 a ? b ? c ? bc ,即
cos A ? 1 ? 0? A? 2 ,∵ 0 ? A ? ? ,故 3 ,选 C.



f ( x) ? 4 cos x sin( x ?
1.【解析】:(Ⅰ)因为

?
6

) ? 1 ? 4 cos x(

3 1 sin x ? cos x) ? 1 2 2 [高考资源网 KS5U.COM]

? 3 sin 2 x ? 2 cos x ? 1 ? 3 sin 2x ? cos2x
2

? 2 sin( 2 x ?

?

) 6 所以 f ( x) 的最小正周期为 ?

?
(Ⅱ)因为

?
6

?x?

?
4

, 所以 ?

?
6

? 2x ?

?
6

?

? ? ? 2? 2 x ? ? , 即x ? . 6 2 6 时, f ( x) 取得最大值 2 ;当 3 于是,当

2x ?

?
6

??

?

, 即x ? ? 时, f ( x) 6 6 取得最小值—1.
f ( x) ? A sin (

?

?
3

x ? ?)

2.(2011 年浙江高考 18)已知函数

, x? R, A ? 0,

0 ?? ?

?

2 . y ? f ( x) 的部分图像,

如图所示, P 、 Q 分别为该图像的最高点和最低点,点 P 的坐标为 (1, A) .

(Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期及 ? 的值;(Ⅱ)若点 R 的坐标为 (1, 0) ,

?PRQ ?

2? 3 ,求 A 的值.

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T?
2.(Ⅰ)解:由题意得, 上

2?

?

?6

3

y ? A sin( x ? ? ) 3 因为 P(1, A) 在 的图

?



? ? ? sin( ? ? ) ? 1. 0 ?? ? ?? 3 6 (Ⅱ)解:设点 Q 的坐标 2 ,所以 所以 又因为
?
(



x0 , A ).,由题意可知 3

x0 ?

?
6

?

2? 2? 3 ,得 x0 ? 4 ,所以 Q(4, ? A) ,连接 PQ,在△PRQ 中,∠PRQ= 3 ,由余弦定理

cos ?PRQ ?


RP2 ? RQ2 ? PQ2 A2 ? 9 ? A2 ? (9 ? A2 ) 1 ? ? 2RP.RP 2 ,解得 A2=3。 2 3. 9 ? A2

又 A>0,所以 A= 3 。

cos A ? 2 cos C 2c ? a ? cos B b , 3. (2011 年山东高考 17) 在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知
sin C 1 cos B ? , b ? 2 4 (Ⅰ)求 sin A 的值;(Ⅱ)若 ,求 ?ABC 的面积 S。

cos A ? 2 cos C 2c ? a cos A ? 2 cos C 2sin C ? sin A ? ? cos B b 及正弦定理可得, cos B sin B 解:(Ⅰ)在 ?ABC 中,由 ,
即 sin A sin B ? 2 cos C sin B ? 2sin C cos B ? sin A cos B 则 sin A sin B ? sin A cos B ? 2sin C cos B ? 2 cos C sin B

s i nC ?2 sin( A ? B) ? 2sin(C ? B) , 而 A ? B ? C ?? , 则 s i nC ? 2 s i n A , 即 s i nA 。 另 解 1 : 在 ?ABC 中 , 由

cos A ? 2 cos C 2c ? a ? cos B b 可得, b cos A ? 2b cos C ? 2c cos B ? a cos B
2 2 2 b2 ? c 2 ? a 2 a 2? b 2? c 2 a 2 ?c ? b 2 a ? c ? b 2 ? ? ? 2c a a 2c 由余弦定理可得 , 整 理 可 得 c ? 2a , 由 正 弦 定 理 可 得

sin C c ? ?2 sin A a 。 另 解

2 : 利 用 教 材 习 题 结 论 解 题 , 在

?ABC

中 有 结 论

a ? b cos C ? c cos B, b ? c cos A ? a cos C, c ? a cos B ? b cos A



cos A ? 2 cos C 2c ? a ? cos B b





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b cos A ? 2b cos C ? 2c cos B ? a cos B 即 b cos A ? a cos B ? 2c cos B ? 2b cos C ,则 c ? 2a ,















s i C nc ? ?2 s iA n a











c ? 2a

cos B ?


1 ,b ? 2 4





4?c
S?

2

?a

2

2 ? a cc o s ? B

2

4a ?

2

1 1 15 ? ac sin B ? ?1? 2 ? 1 ? cos 2 B ? a ? a ?1 a ? 4 a , S 2 c ? 2, 2 4 ,即 则 ,
2 2

15 4 。

1 ? 2cos( B ? C ) ? 0 , 4. (2011 年安徽高考 16) 在 ? ABC 中, a, b, c 分别为内角 A, B, C 所对的边长, a= 3 , b= 2 ,
求边 BC 上的高.

? 解:∵A+B+C=180°,所以 B+C=A,又 1 ? 2 cos(B ? C ) ? 0 ,∴ 1 ? 2cos(180 ? A ) ? 0,即 1 ? 2 cos A ? 0 ,

cos A ?

1 a b ? 2 , 又 0 ° <A<180 ° , 所 以 A = 60 ° . , 在 △ ABC 中 , 由 正 弦 定 理 sin A sin B 得

b sin A 2 sin 60? 2 sin B ? ? ? a 2 , 3
又∵ b ? a ,所以 B<A,B=45°,C=75°,∴BC 边上的高 AD=AC?sinC= 2 sin 75 ? 2 sin(45 ? 30 )
? ? ?

? 2(sin 45 cos30 ? cos 45 sin30 )
? ? ? ?

? 2(

2 3 2 1 3 ?1 ? ? ? )? 2 2 2 2 2 .

5. (2011 年全国卷高考 18) △ABC 的内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c.己知 a sin A ? csin C ? 2a sin C ? bsin B . (Ⅰ)求 B;(Ⅱ)若 A ? 75 , b ? 2, 求a,c .
0

【解析】 (I) 由正弦定理得 a ? c ? 2 ac ? b ?由余弦定理得 b ? a ? c ?2 accos B. 故
2 2 2
2 2 2

cos B ?

2 2 ,因此

B ? 45?

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sin A ? sin(30 ? 45 )
? ?



II



? sin 30 cos 45 ? cos30 sin 45
? ? ?

?

?

2? 6 4



a ? b?

? sin A 2? 6 ? ? 1 ? 3 c ? b ? sin C ? 2 ? sin 60? ? 6 sin B 2 sin B sin 45 .???????????

6.(2011 年安徽高考 17)在 ? ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c 且满足 c sin A ? a cos C.

3 sin A ? cos( B ? ) 4 的最大值,并求取得最大值时角 A, B 的大小. (I)求角 C 的大小;(II)求
解 析 : ( I ) 由 正 弦 定 理 得

?

sin C sin A ? sin A cos C.





0 ? A ??,





s i A? n 从而 0 . C ?
?

s又 iC n

所以 c ? C o s

3? ? .则 ? C c o s ? C 0 , B? t ? a A. n 4 4 (II)由(I)知 于是

1 ,

3 sin A ? cos( B ? ) ? 3 sin A ? cos(? ? A) 4 ? 3 sin A ? cos A ? 2sin( A ? ). 6 ? 3? ? ? 11? ? ? ? ?0 ? A ? ,? ? A ? ? , 从而当A ? ? , 即A ? 时, 2 sin( A ? ) 6 取最大值 2. 4 6 6 12 6 2 3 ,

?

? ? 5? 3 sin A ? cos( B ? ) A ? ,B ? . 4 的最大值为 2,此时 3 12 综上所述,
1 ? f ( x) ? 2sin( x ? ) 3 6 , x? R . 7.(2011 年广东高考 16)已知函数

f(
(1)求

? ?? 5? ? , ? ? ?0, ? f (3? ? ? ) ? 10 f (3? ? 2? ) ? 6 ) ? 2?, 4 的值;(2)设 2 13 , 5 ,求 cos(? ? ? ) 的值.
f( 5? 1 5? ? ? ? 1 ? ? 10 ) ? 2sin( ? ? ) ? 2sin ? 2 f (3? ? ) ? 2sin[ (3? ? ) ? ] ? 2sin ? ? 4 3 4 6 4 2 3 2 6 13 , (2)

16.解:(1)

sin ? ?


? ?? 5 3 1 ? ? 6 ? , ? ? ?0, ? cos ? ? f (3? ? 2? ) ? 2sin[ (3? ? 2? ) ? ] ? 2sin( ? ? ) ? ? 2?, 13 , 5 ,∵ 3 6 2 5 ,即
cos ? ? 1 ? sin 2 ? ? 12 13
sin ? ? 1 ? cos 2 ? ?




4 5



cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ?
8.(2011 年广东高考 18)已知函数

12 3 5 4 16 ? ? ? ? 13 5 13 5 65

f ( x) ? sin( x ?

7? 3? ) ? cos( x ? ) 4 4 ,x ? R.

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(Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期和最小值;(Ⅱ)已知
[ f (? )]2 ? 2 ? 0 .

cos(? ? ? ) ?

4 4 ? cos(? ? ? ) ? ? 0 ?? ? ? ? 5, 5, 2 .求证:

(Ⅰ)解析:

f ( x) ? sin x cos

? 7? 7? 3? 3? ? 2sin( x ? ) ? cos x sin ? cos x cos ? sin x sin ? 2 sin x ? 2 cos x 4 ,∴ f ( x) 的 4 4 4 4
cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? 4 4 cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? 5, 5,

最小正周期 T ? 2? , 最小值 f ( x)min ? ?2 . Ⅱ) 证明: 由已知得 两式相加得 2cos ? cos ? ? 0 ,∵ ∴

0 ?? ? ? ?

?

2 ,∴ cos ? ? 0 ,则

??

?
2.

[ f (? )]2 ? 2 ? 4sin 2

?
4

?2?0



9.(2011 年江苏高考 17)在△ABC 中,角 A、B、C 所对应的边为 a, b, c

sin( A ?
(1)若

?
6

) ? 2 cos A,

1 cos A ? , b ? 3c 3 求 A 的值;(2)若 ,求 sin C 的值.

? sin( A ? ) ? 2 cos A,? sin A ? 3 cos A,? A ? 6 3 解析:(1) 1 ? cos A ? , b ? 3c,? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 8c 2 , a ? 2 2c 3 (2)
1 2 2c c 2 2 ? sin A ? 1 ? cos2 A ? , ? sin C ? 3 。(也可以先推出直角三角形) 3 由正弦定理得: sin A sin C ,而
基本定义 定义:我们把平面内与两个定点 F1,F2的距离的差的绝对值等于一个常数(常数为2a)的轨迹称为双曲线。 (平 面内到两定点的距离差的绝对值为定长的点的轨迹叫做双曲线) 即:│PF1-PF2│=2a 定义1:

?

?

平面内,到两个定点的距离之差的绝对值为常数(小于这两个定点间的距离 )的点的轨迹称为双曲线。定点

[1]

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叫双曲线的焦点。 定义2:平面内,到给定一点及一直线的距离之比为大于1的常数的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点, 定直线叫双曲线的准线。 定义3: 一平面截一圆锥面,当截面与圆锥面的母线不平行,且与圆锥面的两个圆锥都相交时,交线称为双曲线。 定义4:在平面直角坐标系中,二元二次方程 F(x,y)=ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0满足以下条件时,其图像为双 曲线。 1.a、b、c 不都是零. 2.b^2 - 4ac > 0. 注:第2条可以推出第1条。 在高中的解析几何中,学到的是双曲线的中心在原点,图像关于 x, y 轴对称的情形。这时双曲线的方程退化为: x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1. 上述的四个定义是等价的,并且根据建好的前后位置判断图像关于 x,y 轴对称。
[2]

编辑本段标准方程 1、焦点在 X 轴上时为: x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 2、焦点在 Y 轴上时为: y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1

编辑本段概念特征 以下从纯几何的角度给出一些双曲线的相关概念和性质。 分支 双曲线有两个分支。 焦点 在定义1中提到的两给定点称为该双曲线的焦点,定义2中提到的一给定点也是双曲线的焦点。双曲线有两个焦 点。

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准线 在定义2中提到的给定直线称为该双曲线的准线 离心率 在定义2中提到的到给定点与给定直线的距离之比,称为该双曲线的离心率。 离心率 e=c/a 双曲线有两个焦点,两条准线。 (注意:尽管定义2中只提到了一个焦点和一条准线。但是给定同侧的一个焦点, 一条准线以及离心率可以根据定义2同时得到双曲线的两支,而两侧的焦点,准线和相同离心率得到的双曲线是相同 的。) 顶点 双曲线与两焦点连线的交点,称为双曲线的顶点。 渐近线 双曲线有两条渐近线。 渐近线的方程求法是:将右边的常数设为0,即可用解二元二次的方法求出渐近线的解,例如:X^2/2-Y^2/4=1, 令1=0,则 X^2/2=Y^2/4,则双曲线的渐近线为 Y=±(√2)X

编辑本段几何性质 轨迹上一点的取值范围
[1]

│x│≥a(焦点在 x 轴上)或者│y│≥a(焦点在 y 轴上)。

对称性 关于坐标轴和原点对称。 顶点 A(-a,0),A'(a,0)。同时 AA'叫做双曲线的实轴且│AA'│=2a. B(0,-b),B'(0,b)。同时 BB'叫做双曲线的虚轴且│BB'│=2b. F1(-c,0)F2(c,0).F1为双曲线的左焦点,F2为双曲线的右焦点且│F1F2│=2c 对实轴、虚轴、焦点有:a^2+b^2=c^2 渐近线 焦点在 x 轴:y=±(b/a)x. 焦点在 y 轴:y=±(a/b)x. 圆锥曲线 ρ =ep/1-ecosθ 当 e>1时,表示双曲线。其中 p 为焦点到准线距离,θ

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为弦与 x 轴夹角。 令1-ecosθ =0可以求出 θ ,这个就是渐近线的倾角。θ =arccos(1/e) 令 θ =0,得出 ρ =ep/(1-e),x=ρ cosθ =ep/(1-e) 令 θ =PI,得出 ρ =ep/(1+e),x=ρ cosθ =-ep/(1+e) 这两个 x 是双曲线定点的横坐标。 求出它们的中点的横坐标(双曲线中心横坐标) x=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2 (注意化简一下) 直线 ρ cosθ =[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2 是双曲线一条对称轴,注意是不与曲线相交的对称轴。 将这条直线顺时针旋转 PI/2-arccos(1/e)角度后就得到渐近线方程,设旋转后的角度是 θ ’ 则 θ ’=θ -[PI/2-arccos(1/e)] 则 θ =θ ’+[PI/2-arccos(1/e)] 代入上式: ρ cos{θ ’+[PI/2-arccos(1/e)]}=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2 即:ρ sin[arccos(1/e)-θ ’]=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2 现在可以用 θ 取代式中的 θ ’了 得到方程:ρ sin[arccos(1/e)-θ ]=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2 现证明双曲线 x^2/a^2-y^2/b^2=1 上的点在渐近线中 设 M(x,y)是双曲线在第一象限的点,则 y=(b/a)√(x^2-a^2) (x>a) 因为 x^2-a^2<x^2,所以 y=(b/a)√(x^2-a^2)<b/a√x^2=bx/a 即 y<bx/a 所以,双曲线在第一象限内的点都在直线 y=bx/a 下方

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根据对称性第二、三、四象限亦如此 离心率 第一定义:e=c/a 且 e∈(1,+∞). 第二定义:双曲线上的一点 P 到定点 F 的距离│PF│ 与 点 P 到定直线(相应准线)的距离 d 的比等于双曲线 的离心率 e. d 点│PF│/d 线(点 P 到定直线(相应准线)的距离)=e 双曲线焦半径公式 (圆锥曲线上任意一点 P(x,y)到焦点距离) 左焦半径:r=│ex+a│ 右焦半径:r=│ex-a│ 等轴双曲线 一双曲线的实轴与虚轴长相等 即:2a=2b 且 e=√2 这时渐近线方程为:y=±x(无论焦点在 x 轴还是 y 轴) 共轭双曲线 双曲线 S'的实轴是双曲线 S 的虚轴 且 双曲线 S'的虚轴是双曲线 S 的实轴时,称双曲线 S'与双曲线 S 为共轭 双曲线。 几何表达:S:(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 S':(y^2/b^2)-(x^2/a^2)=1 特点:(1)共渐近线;与渐近线平行得线和双曲线有且只有一个交点 (2)焦距相等 (3)两双曲线的离心率平方后的倒数相加等于1 准线 焦点在 x 轴上:x=±a^2/c 焦点在 y 轴上:y=±a^2/c 通径长 (圆锥曲线中,过焦点并垂直于轴的弦) d=2b^2/a

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11、过焦点的弦长公式: d=2pe/(1-e^2cos^2θ ) 弦长公式 d = √(1+k^2)|x1-x2| = √[(1+k^2)(x1-x2)^2] = √(1+1/k^2)|y1-y2| = √[(1+1/k^2)(y1-y2)^2 ] 推导如下: 由 直线的斜率公式:k = (y1 - y2) / (x1 - x2) 得 y1 - y2 = k(x1 - x2) 或 x1 - x2 = (y1 - y2)/k 分别代入两点间的距离公式:|AB| = √[(x1 - x2)^2; + (y1 - y2)^2; ] 稍加整理即得: |AB| = |x1 - x2|√(1 + k^2;) 或 |AB| = |y1 - y2|√(1 + 1/k^2;) ?双曲线的标准公式与反比例函数 X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1(a>0,b>0) 而反比例函数的标准型是 xy = c (c ≠ 0) 但是反比例函数图象确实是双曲线轨迹经过旋转得到的 因为 xy = c 的对称轴是 y=x, y=-x 而 X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1的对称轴是 x 轴,y 轴 所以应该旋转45度 设旋转的角度为 a(a≠0,顺时针) (a 为双曲线渐进线的倾斜角) 则有 X = xcosa + ysina Y = - xsina + ycosa

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取 a = π /4 则 X^2 - Y^2 = (xcos(π /4) + ysin(π /4))^2 -(xsin(π /4) - ycos(π /4))^2 = (√2/2 x + √2/2 y)^2 -(√2/2 x - √2/2 y)^2 = 4 (√2/2 x) (√2/2 y) = 2xy. 而 xy=c 所以 X^2/(2c) - Y^2/(2c) = 1 (c>0) Y^2/(-2c) - X^2/(-2c) = 1 (c<0) 由此证得,反比例函数其实就是双曲线的一种形式,.只不过是双曲线在平面直角坐标系内的另一种摆放形式. 双曲线内、上、外 在双曲线的两侧的区域称为双曲线内,则有 x^2/a^2-y^2/b^2>1; 在双曲线的线上称为双曲线上,则有 x^2/a^2-y^2/b^2=1; 在双曲线所夹的区域称为双曲线外,则有 x^2/a^2-y^2/b^2<1。

编辑本段面积公式 若 ∠F1PF2=θ , 则 S△F1PF2=b^2?cot(θ /2)或 S△F1PF2=b^2/tan(θ /2) ?例:已知 F1、F2为双曲线 C:x2-y2=1的左右焦点,点 P 在 C 上,∠F1PF2=60°,则 P 到 x 轴的距离为多 少? 解:由双曲线焦点三角形面积公式 得 S△F1PF2=b^2?cot(θ /2)=√3 设 P 到 x 轴的距离为 h,则 S△F1PF2 =1/2?h?2√2; h =√6/2

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2、双曲线的标准方程(中心在原点、焦点在坐标轴上的双曲线的方程)

如果双曲线的焦点在 x 轴上,标准方程为

(a>0,b>0)

如果双曲线的焦点在 y 轴上,标准方程为

(a>0,b>0).
2 2

双曲线标准方程中 a>0,b>0,但 a 不一定大于 b.如果 x 的系数是正的,那么焦点在 x 轴上,如果 y 的系数是 正的,那么焦点在 y 轴上,有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点的位置.要学会利用题设条件求 a、b 并判断 焦点所在的坐标轴求双曲线方程, 或用待定系数法确定双曲线方程; 另外, 在方程 Ax +By =C 中, 只要 AB<0, 且 C≠0, 方程表示双曲线方程. 3、双曲线的几何性质 (1)双曲线的几何性质包括:范围、对称轴、对称中心及其实轴与虚轴的概念、焦距与焦点坐标、离心率、准 线、渐近线方程等.
2 2

关于双曲线渐近线方程的记忆,只须将双曲线标准方程中的1改为0即可.如双曲线

的渐近线方程为

,即

,这两条直线恰是边长2a、2b 的矩形的两条对角线所在的直线.当双曲线的两支向外延伸

时,与这两条直线无限接近,但永不相交.

渐近线是双曲线特有的性质,理解渐近线的渐近性,可以理解为:

,当 x 无限增大时,



限接近于0,所以 y 无限趋近于
2 2 2

. .

(2)等轴双曲线 x -y =±a 的渐近线方程是 y=±x,离心率

(3)离心率的求解注意运用几何性质,将相关线段关系转化为 a、b、c 的齐次等式.

(4)与双曲线 4、要掌握双曲线的第二定义:

有相同渐近线的方程是



在平面上到一定点 F 的距离与到一定直线距离之比为一个大于1的常数 e 的点的轨迹.即 是应用双曲线的第二定义 几何性质见下表:

.教材例5即

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标准方 程 (a>0,b>0) (a>0,b>0)

图形

范围 对称性 离心率 顶点 焦点 准线 渐近线 4、直线与双曲线的位置关系

|x|≥a,y∈R

|y|≥a,x∈R

对称轴:x 轴、y 轴,对称中心:原点

(-a,0)(a,0) (-c,0)(c,0)

(0,-a),(0,a) (0,-c)(0,c)

(1)一次方程与二次方程所表示的是直线与曲线的位置关系,一般处理方法均是将一次方程代入二次方程考查 解的个数,但这里直线方程代入双曲线方程后当二次项为零时,即是直线与渐近线平行时,有一个交点,然后讨论 △与零的大小判断解的个数. 直线与圆锥曲线相交的弦长问题

(2)直线 l︰y=kx+b,与二次曲线 C︰(x, y)=0交于 A、B 两点,由

得:ax +bx+c=0 (a≠0),则

2

. (3)利用“点差法”来解决中点弦问题,其基本思路是设点(即设出弦的端点坐标)——代入(即将端点代入 曲线方程)——作差(即两式相减)——得出中点坐标与斜率的关系。 (4)圆锥曲线中的对称问题 对于曲线上点关于直线的对称问题处理时要抓住三点: (1)对称点的连线垂直于对称轴(垂直); (2)对称点的连线段的中点在对称轴上(平分); (3)对称点所在直线与曲线相交(△>0)。



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