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1.4.2正弦函数余弦函数的性质(周期性)


§1.4 正弦余弦函数的性质
(1)周期性

举例:
生活中“周而复始”的变化规律。
日出 日落 、白天 黑夜 、四季更替

问题: 三角函数值是否具有“周而复始”的变化规律?
?

公式(一)

sin(? ? 2k? ) ? sin ? ( k ? Z ), cos(? ? 2k? ) ? cos ? ( k ? Z ), tan(? ? 2k? ) ? tan ? ( k ? Z ).

诱导公式sin(x+2π ) =sinx,的几何意义.
y o X X X+2π X+2π x

正弦函数值是按照一定规律不断重复地出现的 能不能从正弦、余弦函数周期性归纳出一般函 数的规律性?

y

正弦曲线
-2? -?

1

y ? sinx , x ? R
x

o
-1

?

2?

3?

4?

余弦曲线
-2? -?

y 1

y ? cosx , x ? R
? 2? 3?

o -1

x

如何用数学语言刻画周期性

1、周期的定义

对于函数 f ( x) ,如果存在一个非零常
数 T,使得当 个值时,都有

x 取定义域内的每一
f ( x ? T ) ? f ( x),

那么函数 f ( x) 就叫做周期函数,
非零常数 T 叫做这个函数的周期。
正弦函数和余弦函数的周期都是 2kπ

思考:一个周期函数的周期有多少个?
1﹑sinx,cosx 的周期是2π ﹑4π ﹑6π ﹑ -2π ﹑-4π ﹑-6π ……2kπ . 2﹑如果T是函数f (x) 的周期,那么2T ﹑ 3T ……kT也是函数f(x)的周期. 3 ﹑对周期函数定义中的“定义域中的每一个 值x ”的要求,而不是某一个值.

注意: 1.定义是对定义域中的每一个x值来说的, 只有个别的x值满足:f ( x ? T ) ? f ( x ) 不能说T 是y ? f ( x )的周期. 例如 : sin(
? ?
2

?
4

?

?
2

) ? sin

?
4

, 但是 sin( ?
3

?

?
2

) ? sin

?
3

.

就是说 sin( x ?

不能对x在定义域内的每一个值使 ) ? sin x ,因此

?
2

2

不是y ? sin x的周期.

练习:判断下列说法是否正确
? 2? 2? sin( x ? ) ? sin x 则 (1)x ? 时, 3 3 3

√) 一定不是 y ? sin x 的周期 (

2? 2? 7? x? (2) 时,sin( x ? 3 ) ? sin x 则 3 6

一定是 y ? sin x 的周期

( ) ×

2、最小正周期的定义 对于一个周期函数 f ( x) 如果在它所 有的周期中存在一个最小的正数,

那么这个最小的正数就叫做 f ( x)的 最小正周期。
说明: 我们现在谈到三角函数周期时,如果不加特别说明,一般都 是指的最小正周期;

2.等式f ( x ? T ) ? f ( x ),强调:自变 量x本身加的常数才是周期, 例如:f (2 x ? T ) ? f (2 x ), T 不是周期, 而应写成 T ? T ? f (2 x ? T ) ? f ? 2( x ? ) ? ? f (2 x ), 此时 才是 2 ? 2 ? 函数y ? f ( x )的周期.

例 求下列函数的周期: (1)y=3cosx, x∈R; (2)y=sin2x, x∈R;
1 ? (3) y ? 2sin( x ? ), x ? R 2 6 解:(1) ?cos x 是以2π 为周期的周期函数.
?cos( x ? 2? ) ? cos x, 3cos( x ? 2? ) ? 3cos x,
这里的周期指的 是最小正周期!

? y ? 3cos x, x ? R的周期为2?

例 求下列函数的周期: (1)y=3cosx,x∈R; (2)y=sin2x,x∈R;

1 ? (3) y ? 2sin( x ? ), x ? R 2 6

解:(2)

? sin(2 x) ? sin(2 x ? 2? ) ?sin(2x) ? sin ?2( x ? ? )? ? y ? sin 2 x 的周期为π .

1 ? 1 ? (3) ? 2sin( x ? ) ? 2sin( x ? ? 2? ) 2 6 2 6 1 ? ?? ?1 ? 2sin( x ? ) ? 2sin ? ( x ? 4? ) ? ? 2 6 6? ?2

1 ? ? y ? 2sin( x ? ) 的周期为4π 2 6

另解

归纳总结
一般地,函数 y ? A sin(? x ? ? )及 y ? A cos(? x ? ? ) (其中 A, ? , ? 为常数,且 A ? 0, ? ? 0 )的周期是

T?

2?

?
2?

若? ? 0 则 T ?

?

练习:
(1) 求下列函数的最小正周期

(1) f ( x ) ? sin(2? x ?

?

5 1 ? ?x (2) f ( x) ? cos( ? ) 2 3 2

)

2? 2? T? ? ?1 ? 2?
2? 2? T? ? ?4 |? | ? 2

P36

练习 1, 2

小结:
1.周期函数、最小正周期的定义;

2. y ? A sin(? x ? ? ) 和 y ? A cos(? x ? ? )
型函数的周期的求法。

课后思考

函数 y = tan x是周期函数吗? 如果是,那么它的最小正周期是 多少?

?作业:P46

3

?? ?1 解:设f ( x ) ? 2sin ? x ? ?的周期为T . 6? ?2 ? f ( x ? T ) ? f ( x) ?? ?? ?1 ?1 ? 2sin ? ( x ? T ) ? ? ? 2sin ? x ? ? 6? 6? ?2 ?2 ?? 1 ?? 1 ? ?? ?1 ? 2sin ? ? x ? ? ? T ?? 2sin ? x ? ? 6? 2 ? 6? ?2 ?? 2 1 ? 1 ? ? 令u ? x ? , 则 sin ? u ? T ? ? sin u 2 6 2 ? ? T ? y ? sin u 的周期为2? ? ? 2? , 即T ? 4? . 2


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