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育人教育教师一对一个性化学案

因材施教 成就未来

人教版 新课标 高一第二学期期末考试 数学试卷
时间:120 分钟
2

分值:150 分

参考公式:球的表面积 S ? 4?r ,球的体积 V ?

4 3 ?r , 圆锥侧面积 S 侧 ? ?rl 3

一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的,请在答题卡相应位置填涂答案) 1.已知向量 a ? (2,3) , b ? (6, x) ,且 a ? b ,则 x 的值为( A.4 B. ?4 C. ?9 D. 9 )
?

?

?

?

?

)

? 2.在 ?ABC 中, a ? 3 3 , b ? 3 , A ? 120 ,则B的值为(

A. 30

?

B. 45

?

C. 60

?

D. 90 )项 D. 13

3.数 23 可能是数列 3,5,7,9,11,?, 中的第( A. 10 B. 11 C. 12

4.等差数列 ?a n ?的首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 3 , ?a n ?的前 n 项和为 S n ,则 S10 ? ( A. 28 B. 31 C. 145 5.已知两数 ? 2 与 ? 5 ,则这两数的等比中项是( A. 10 B. ? 10 C. ? 10 D. 160 ) D.不存在

)

6. 已知数列 ?a n ?的通项公式是 an ? 2n ? 49 , 则其前 n 项和 S n 取最小值时, 的值是( n A.23 B.24 C.25 D.26

)

7.若角 ? , ? 满足 ? A. (?? ,0)

?
2

?? ?

?
2

,?

?
2

?? ?

?
2

,则 ? ? ? 的取值范围是 ( D. (0, ? )

)

B. (?? , ? )

C. (?

3? ? , ) 2 2

?x ? 3 ? 8.不等式组 ? x ? y ? 0 表示的平面区域的面积等于( ?x ? y ? 0 ?

)

A.

9 2

B.6

C.9

D.18

9.给出以下四个命题: ①若一条直线 a 和一个平面 ? 平行,经过这条直线的平面 ? 和 ? 相交,那么 a 和交线平行;

一切为了孩子

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②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面; ③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行; ④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。 其中正确命题的个数是( ) A.4 B. 3 C. 2 D. 1 10. 已知某个几何体的三视图如下, 根据图中标 出的尺寸(单位: cm), 可得这个几何体的体积是 ( ) A.12 cm C.
3
2 6 正视图 2

4 侧视图

B.24 cm

3

24 cm3 3

D.40 cm

3

6

俯视图

11.圆锥的底面周长为 4 ? , 侧面积为 8 ? ,则圆锥的母线长为( A.4 B.3 C.2 D.1 12.在同一直角坐标系中,表示直线 y ? ax 与 y ? x ? a 正确的是(

) )

y

y

y

y

O
A.

x

O
B.

x

O
C.

x

O
D.

x

二、填空题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.

b b 13.若向量 a , b 满足 a ? 1, ? 2 且 a? ?

?

?

?

?

? ?

? ? 2 ,则 a 与 b 的夹角为
.



14.在△ABC 中, a ? 3, b ? 5, c ? 7 ,则 cos C ? 16. 若a ? R, b ? R, ab ? 3, 则 ( a ? b) 的最小值为
2

15.已知数列 {an } 满足: a1 ? 1 , an ?1 ? ?2an ,则 {an } 的前 8 项的和 S 8 = .

.

17.若两个球的表面积之比是 1︰4,则它们的体积之比是_______. 18.点 A, B 到平面 ? 的距离分别为 4cm 和 6cm ,则线段 AB 的中点 M 到 ? 平面的距离为 __ _ cm 或__ _ cm . . . 19.两平行直线 x ? y ? 1 ? 0与2 x ? 2 y ? 1 ? 0 的距离是 20.过点 A(1,2)且在两坐标轴上的截距相等的直线 l 的方程是

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三、解答题:本大题共 5 小题,满分 50 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 21.(本题满分 10 分)解下列不等式:(1) x ? 2 x ? 3 ? 0 ; (2)
2

3x ? 1 ?0. 2? x

22.(本题满分 10 分)已知直线 l 经过两条直线 l1 : x ? y ? 4 ? 0 和 l 2 : x ? y ? 2 ? 0 的交点, 直线 l3 : 2 x ? y ? 1 ? 0 ;(1)若 l // l 3 ,求 l 的直线方程;(2)若 l ? l 3 ,求 l 的直线方程.

23.(本题满分 10 分)在 ?ABC 中, 2 cos? A ? B ? ? 1 . (1)求角 C 的度数; (2)若 BC ? a , AC ? b 且 a, b 是方程 x ? 2 3x ? 2 ? 0 的两个根,求 AB 的长度.
2

24.(本题满分 10 分)直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, B1C1 ? A1C1 , AC1 ? A1 B , M , N 分别为

A1 B1 , AB 的中点.
求证:(1) 平面B1CN // 平面AMC1 ; (2) AM ? A1 B .

C1

A1 M B1

C N B

A

* 25.(本题满分 10 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 Sn ? n ? 2n ( n ? N ) .数列
2

{bn } 满足: b1 ? 1 , bn ? abn?1 (n ? 2) .
(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)求数列 {bn } 的通项公式; (3)若 cn ? an (bn ? 1) ,求数列 ?cn ? 前 n 项和 Tn .

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参考答案
内容:平面向量一章,数学 5 全部,数学 2 立几和直线(不含圆) 一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的,请在答题卡相应位置填涂答案) 1.已知向量 a ? (2,3) , b ? (6, x) ,且 a ? b ,则 x 的值为( B A.4 B. ?4 C. ?9

?

?

?

?

) D. 9 A )

? 2.在 ?ABC 中, a ? 3 3 , b ? 3 , A ? 120 ,则B的值为(

A. 30 ?

B. 45 ?

C. 60 ?

D. 90 ?

3.数 23 有可能是数列 3,5,7,9,11,?, 中的第( B )项 A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 ) 4.等差数列 ?a n ?的首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 3 , ?a n ?的前 n 项和为 S n ,则 S10 ? ( C A. 28 B. 31 C. 145 D. 160

5.已知两数 ? 2 与 ? 5 ,两数的等比中项是( C ) A. 10 B. ? 10 C. ? 10 D.不存在 6. 已知数列 ?a n ?的通项公式是 an ? 2n ? 49 , 则其前 n 项和 S n 达到最小值时, 的值是( B ) n A.23 7.若角 ? , ? 满足 ? A. (?? ,0) B.24 C.25 D.26 ( B )

?
2

?? ?

?
2

,?

?
2

?? ?

?
2

,则 ? ? ? 的取值范围是 D. (0, ? )

B. (?? , ? )

C. (?

3? ? , ) 2 2

?x ? 3 ? 8.不等式组 ? x ? y ? 0 表示的平面区域的面积等于 ?x ? y ? 0 ?

( C

)

A.

9 2

B.6

C.9

D.18

9.给出以下四个命题: ①如果一条直线和一个平面平行, 经过这条直线的平面和这个平面相交, 那么这条直线和交 线平行, ②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面, ③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行, ④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。 其中正确命题的个数是( B ) A.4 B. 3 C. 2 D. 1

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10.已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm),可得这个几何体的体 积是( B ) A.12 cm
3

B.24 cm

3

2 6

2

24 C. cm3 3

4 侧视图

D.40 cm

3

正视图

6

俯视图

11.圆锥的底面周长为 4 ? , 侧面积为 8 ? ,则圆锥的母线长为( A A.4 B.3 C.2 D.1

)

12.在同一直角坐标系中,表示直线 y ? ax 与 y ? x ? a 正确的是( C

)

y

y

y

y

O
A.

x

O
B.

x

O
C.

x

O
D.

x

二、填空题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.

b b 13. 若向量 a , b 满足 a ? 1, ? 2 且 a? ?

?

?

?

?

? ?

? ? 2 ,则 a 与 b 的夹角为
. ?



? (或 45°) 4

14.在△ABC 中, a ? 3, b ? 5, c ? 7 ,则 cos C ?

1 2
. -85

15. 已知数列 {an } 满足: a1 ? 1 , an ?1 ? ?2an ,则 {an } 的前 8 项的和 S8 = 16. 若a ? R, b ? R, ab ? 3, 则 ( a ? b) 的最小值为
2

. 12

17.若两个球的表面积之比是 1︰4,则它们的体积之比是_______. 1︰8 18.点 A, B 到平面 ? 的距离分别为 4cm 和 6cm ,则线段 AB AB 的中点 M 到 ? 平面的 距离为___________. 5cm 或 1cm 19.两平行直线 x ? y ? 1 ? 0与2 x ? 2 y ? 1 ? 0 的距离是 .

3 2 4

20. 过点 A(1,2)且在两坐标轴上的截距相等的直线 l 的方程是 y ? 2 x 或 x ? y ? 3 ? 0 .

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三、解答题:本大题共 5 小题,满分 50 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 21. (本题满分 10 分)解下列不等式:(1) x ? 2 x ? 3 ? 0
2

(2)

3x ? 1 ?0 2? x

.

解 :(1) 由 已 知 得 ( x ? 3)( x ? 1) ? 0 , 所 以 x ? ?3或x ? 1 , 即 原 不 等 式 的 解 集 为

?? ?,?3? ? ?1,??? ,………………………………………5 分
(2) 由已知得 (3x ? 1)(2 ? x) ? 0 ,即 (3x ? 1)( x ? 2) ? 0 ,所以 集为 ( ,2) .…………………………………………10 分

1 ? x ? 2 ,即原不等式的解 3

1 3

22.(本题满分 10 分)已知直线 l 经过两条直线 l1 : x ? y ? 4 ? 0 和 l 2 : x ? y ? 2 ? 0 的交点, 直线 l3 : 2 x ? y ? 1 ? 0 ;(1)若 l // l 3 ,求 l 的直线方程;(2)若 l ? l 3 ,求 l 的直线方程. 解:由 ?

?x ? y ? 4 ? 0 ?x ? 1 ,得 ? ;…………………………………………… 2 分 ?x ? y ? 2 ? 0 ?y ? 3

∴ l1 与 l 2 的交点为(1,3)。……………………………………………………3 分 (1)设与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行的直线为 2 x ? y ? c ? 0 ………………4 分 则 2 ? 3 ? c ? 0 ,∴c=1。…………………………………………………6 分 ∴所求直线方程为 2 x ? y ? 1 ? 0 。…………………………………………7 分 方法 2:∵所求直线的斜率 k ? 2 ,且经过点(1,3),………………… 5 分 ∴求直线的方程为 y ? 3 ? 2( x ? 1) ,………………………………… 6 分 即 2 x ? y ? 1 ? 0 。………………………………………………………7 分 (2)设与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 垂直的直线为 x ? 2 y ? c ? 0 ………………8 分 则 1 ? 2 ? 3 ? c ? 0 ,∴c=-7。…………………………………………….9 分 ∴所求直线方程为 x ? 2 y ? 7 ? 0 。………………………………………10 分 方法 2:∵所求直线的斜率 k ? ? ∴求直线的方程为 y ? 3 ? ? 即 x ? 2y ? 7 ? 0

1 ,且经过点(1,3),……………… 8 分 2

1 ( x ? 1) ,…………………………………9 分 2

。…………………………………………………10 分

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23.(本题满分 10 分) 在 ? ABC 中, 2 cos? A ? B ? ? 1 . (1)求角 C 的度数; (2)若 BC ? a , AC ? b 且 a, b 是方程 x ? 2 3x ? 2 ? 0 的两个根,求 AB 的长度.
2

解:(1) cos C ? cos?? ? ? A ? B ?? ? ? cos? A ? B ? ? ? ∴

C?

2? 0 (或 C ? 120 ) ;……………………………4 分 3
?a ? b ? 2 3 ? ,……………………………6 分 ? ab ? 2 ?
2 2 2

1 , 2

(2)由已知得: ?
2 2

∴ AB ? AC ? BC ? 2 AC ? BC cos C ? a ? b ? 2ab cos

2? ……………………7 分 3

? a 2 ? b 2 ? ab ? ?a ? b ? ? ab ? 2 3
2

? ?

2

? 2 ? 10 ,…………………………9 分

∴ AB ? 10 . ……………………………10 分

24. (本题满分 10 分)直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, B1C1 ? A1C1 , AC1 ? A1 B , M , N 分别为

A1 B1 , AB 的中点,
求证:(1) 平面B1CN // 平面AMC1 ; (2) AM ? A1 B 。

C1

A1 M B1

证明:(1)∵直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, M , N 分别为 A1 B1 , AB 中点, ∴ B1M // NA 且 B1M ? NA ,则四边形 B1MAN 为平行四边形, ∴ B1 N // AM ;……………………………………2 分 又∵ AM ? 平面AMC , B1 N ? 平面AMC1 , ∴ B1 N // 平面AMC1 ;……………………………………3 分 连接 MN,在四边形 CC1MN 中,有 MC1 // CN 且 MC1 ? CN , 同理得: CN // 平面AMC1 ;……………………………………4 分 ∵ CN ? 平面B1CN , B1 N ? 平面B1CN , CN ? B1 N ? N , ∴ 平面B1CN // 平面AMC1 。……………………………………5 分 C N B A

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(2)∵ B1C1 ? A1C1 , M 分别为 A1 B1 中点,M 为 A1B1 中点,∴ C1M ? A1 B1 ,………6 分 又∵三棱柱 ABC ? A1 B1C1 是直三棱柱, ∵ A1B ? 平面AA1 B1B , 又∵ AC1 ? A1 B , AC1 ? C1M ? C1 , ∵ AM ? 平面AC1M , ∴ C1M ? 平面AA1 B1 B ,………7 分 ∴ C1M ? A1B ,……………8 分 ∴ A1B ? 平面AC1M ,…………9 分

∴ A1B ? AM 。………………………………10 分

25. (本题满分 10 分)已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n , Sn ?n 且 满足: b1 ? 1 , bn ? abn?1 (n ? 2) . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)求数列 {bn } 的通项公式; (3)若 cn ? an (bn ? 1) ,求数列 ?cn ? 前 n 项和 Tn . 解:(1) n ? 1 时, a1 ? S1 ? 3 ,

2

?n ( n ? N * ) 数列 {bn } 2 .

n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? (n2 ? 2n) ? (n ? 1) 2 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1 , 且 n ? 1 时也适合此式,故数列 {an } 的通项公式是 an ? 2n ? 1;……………………2 分 (2)依题意知 n ? 2 时, bn ? abn?1 ? 2bn ?1 ? 1 ,
∴ bn ? 1 ? 2(bn ?1 ? 1) ,又 b1 ? 1 ? 2 ? 0 , 即 bn ? 1 ? 2 ? 2
1 n ?1

………………………………4 分

∴ {bn ? 1} 是以 2 为首项,2 为公比的等比数列,

? 2n ,即 bn ? 2n ? 1 .…………………………………5 分
n

(3) 由(1)(2)知: c n ? a n (bn ? 1) ? (2n ? 1) ? 2 ,
2 3 n

…………………………6 分

2 2 2 2 ∴ Tn ? 3? ? 5? ? 7? ? ? ? (2n ? 1)? ,……………………………………7 分 2Tn ?
1

3?22 ? 5?23 ? 7?24 ? ? ? (2n ? 1)?2n ? (2n ? 1)?2n?1 ,
2 3 n n ?1

2 2 2 2 2 ∴ ?Tn ? 3? ? 2? ? 2? ? ? ? 2? ? (2n ? 1)?

…………………………8 分

? 2 ? 2(2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ) ? (2n ? 1)?2
1 2 3 n

n ?1

(1 ? 2n ) ? 2 ? 2? ? (2n ? 1)?2n ?1 ? ?2 ? (1 ? 2n)?2n ?1 , 1? 2
2 ∴ Tn ? (2n ? 1)?
n ?1

? 2 。…………………………………10 分

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