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新课标人教A版高中数学常用结论与方法 -二、函数


新课标高中数学经典结论与解题方法—理科 编辑: 高中数学组 二、函数、导数及其应用. 9.定义域:①偶次根式被开方数大于等于零.②分式分母不为零.③复合函数定义域 ④对数函数真数大于零.⑤正切函数: y ? tan x( x ? ? 2 ? k? ) ⑥ x0 ( x ? 0) . x ? ?1-2 ≥0, 1 ? 如:(1)f(x)= 1-2 + 自变量 x 应满足 故函数 f(x)定义域(-3,0] . ?x+3>0, x+3 ? x 1 ? ?1+x>0, 1? 2 ? (2) f(x)=ln?1+x?+ 1-x 使函数有意义,需? 所以函数 f(x)定义域为(0,1]. 2 ? ?1-x ≥0, (3)f(x)= tan( x ? ? 4 ) 使函数有意义,需 x ? ? 4 ? ? 2 ? k? 所以定义域为 {x | x ? ? 4 ? k? } . (4)函数 f ( x ? 1) 定义域 (?1,1) ,求函数 f ( x ? 1) 的定义域 因为 ?1 ? x ? 1 所以 0 ? x ? 1 ? 2 由 0 ? x ? 1 ? 2 所以函数 f ( x ? 1) 的定义域 (1,3) 10. 解析式:①配凑法②待定系数法③换元法④解方程组法.如: 1 1 x+ ?=x2+ 2,求 f(x). f(x)=x2-2(x≥2 或 x≤-2). (1)已知 f? x ? ? x 1 1 (2)已知 f(x)是二次函数,且 f(0)=0,f(x+1)=f(x)+x+1,求 f(x).f(x)= x2+ x(x∈R). 2 2 (3)已知 f( x+1)=x+2 x,求 f(x).f(x)=x2-1(x≥1). 2 1 (4)在(-1,1)内的函数 f(x)满足 2f(x)-f(-x)=lg(x+1)求 f(x). f(x)= lg(x+1)+ lg(1-x),x∈(-1,1). 3 3 11.判断函数单调性的四种方法:定义法、复合法、图像法、导数法等. (1)定义法:①f(x)在区间 D 上是增函数?f(x1)<f(x2).②f(x)在区间 D 上是减函数?f(x1)>f(x2). (2)复合函数单调性:外层函数为增函数(减)复合函数的单调性与内层函数单调性相同(反). 12.分段函数在 R 上为单调函数,注意分界点处函数值得的大小比较.如: ?a-2?x,x≥2, ? ? 13 -∞, ? . 函数 f(x)=??1?x 在 R 上单调递减,求实数 a 的取值范围为? 8? ? ??2? -1,x<2 ? a-2<0, ? ? 13 由于函数 f(x)是 R 上的减函数于是有? 由此解得 a≤ , 1?2 ? 8 ??a-2?×2≤?2? -1, ? -1- 新课标高中数学经典结论与解题方法—理科 编辑: 高中数学组 13. 函数单调性: ①增+增=增、减+减=减、增-减=增、减-增=减. ②若 f ( x ) 在 R 上为增(减)函数,则- f ( x ) 为减(增)函数. ③若 f ( x ) 为在 (0, ??) 上为增函数,则 1 为减函数, f ( x) f ( x) 为增函数. ④等价关系:设 x1, x2 ??a, b? , x1 ? x2 那么 ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? 0 ? ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? 0 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x) 在

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