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河南省郑州市2018届高中毕业班第一次质量检测(模拟)数学(理)试题

河南省郑州市 2018 届高中毕业年级第一次质量预测 数学(理科)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。考试时间 120 分钟,满分 150 分。 考生应首先阅读答题卡上的文字信息,然后在答题卡上作答,在试题卷上作答无效。交卷时只交答 题卡。

第Ⅰ卷
一、选择题:共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的.
x 1.设集合 A ? x x ? 1 , B ? x 2 ? 16 ,则 A ? B ?

?

?

?

?

A. (1, 4)
2

B. (??,1)

C. (4, ??)

D. (??,1) ? (4,??)

2.若复数 z ? (a ? a ? 2) ? (a ? 1)i 为纯虚数( i 为虚数单位) ,则实数 a 的值是 A. ? 2 3.下列说法正确的是 A.“若 a ? 1 ,则 a ? 1 ”的否命题是“若 a ? 1 ,则 a ? 1 ”
2 2

B. ? 2 或 1

C.2 或 ?1

D.2

B.“若 am ? bm ,则 a ? b ”的逆命题为真命题
2 2

C. ?x0 ? (0, ??) ,使 3 0 ? 4 0 成立
x x

D. “若 sin ? ?
n

1 ? ,则 ? ? ”是真命题 2 6

3 ? ? 2 4.在 ? x ? ? 的展开式中,各项系数和与二项式系数和之比为 32,则 x 的系数为 x? ?
A.50 B.70 C.90 D.120 5.等比数列 ?an ? 中, a3 ? 9 ,前 3 项和为 S3 ? 3 A.1 B. ?
3

?

0

x2 dx ,则公比 q 的值是
1 2
D. ? 1 或 ?

1 2

C.1 或 ?

1 2
个单位,得到

6.若将函数 f ( x) ? 3sin(2 x ? ? )(0 ? ? ? ? ) 图象上的每一个点都向左平移

?
3

y ? g ( x) 的图象,若函数 y ? g ( x) 是奇函数,则函数 y ? g ( x) 的单调递增区间为
A. [ k ? ?

?
4

, k? ?

?
4

](k ? Z )

B. [ k ? ? C. [ k ? ? D. [ k ? ?

?
4

, k? ?

3? ](k ? Z ) 4

2? ? , k? ? ](k ? Z ) 3 6

?
12

, k? ?

5? ](k ? Z ) 12

7.执行如图所示的程序框图,若输出的结果是 7,则判 断框内 m 的取值范围是

42] A. (30,
C. (42,56]

B. (30, 42) D. (42,56)

8.刍薨(chú hōng) ,中国古代算数中的一种几何形体, 《九章算术》中记载“刍薨者,下有褒有广,而 上有褒 无广.刍,草也.薨,屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩 形,顶部只有长没有宽为一条棱,刍薨字面意思为茅草 屋顶”,如图,为一刍薨的 三视图,其中正视图为等腰 梯形,侧视图为等腰三角形,则搭建它(无底面,不考 虑厚度)需要的茅草面积至少为 A.24 C.64 B. 32 5 D. 32 6

9.如图,在 △ABC 中, N 为线段 AC 上靠近 A 的三等 分点,点 P 在 BN 上且 AP =(m ? 则实数 m 的值为 A.1
[来源:Zxxk.Com]

??? ?

? 2 ??? ? 2 ??? ) AB ? BC , 11 11 9 11 5 11

B.

1 3

C.

D.

10.设抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F ,过点 M ( 5,0) 的直线与抛物线相交于 A , B 两点,与抛物线 的准线相交于 C , BF ? 3 ,则 ?BCF 与 ?ACF 的面积之比

S?BCF ? S?ACF
D.

A.

3 4

B.

4 5

C.

5 6

6 7
的面积为 S ? 3c ,

c o s 11. 在 ?ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , 且 2c
则 ab 的最小值为 A.28
3
[来源:学科网]

B 2 ?a b ? , B C 若 ?A

B.36
2

C.48

D.56

[来源:Zxxk.Com]

12.已知函数 f ( x) ? x ? 9 x ? 29 x ? 30 ,实数 a , b 满足 f (m) ? ?12 , f (n) ? 18 ,则 m ? n ? A.6 B.8 C.10 D.12

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 一 21 为必考题,每个考生都必须作答,第 22 一 23 题 为选考题,考生根据要求作答。 二、填空题:本大题共 4 题,每小题 5 分.

? x ? 1, ? 13.设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 4 ? 0, 则目标函数 z ? 2 x ? y 的最小值为 ? x ? 3 y ? 4 ? 0, ?
14.已知函数 f ( x) ? ? 是 .

.

?2 x , x ? 1 ?ln( x ? 1),1 ? x ? 2,

若不等式 f ( x) ? 5 ? mx 恒成立,则实数 m 的取值范围

15.如果把四个面都是直角三角形的四面体称为“三节棍体”,那么从长方体八个顶点中任取四个顶 点,则这四个顶点是“三节棍体”的四个顶点的概率为 16.已知双曲线 C : .

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为 F ,过点 F 向双曲线的一条渐近线引垂线,垂足为 M , a 2 b2

交另一条渐近线于 N ,若 7 FM ? 3FN ,则双曲线的渐近线方程为

???? ?

??? ?

.

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 a2 ? a5 ? 25 , Sn ? 55 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 anbn ?

1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . 3n ? 1

18. (本小题满分 12 分) 为了减少雾霾,还城市一片蓝天,某市政府于 12 月 4 日到 12 月 31 日在主城区实行车辆限号出 行政策,鼓励民众不开 车低碳出行,某甲乙两个单位各有 200 名员工,为了了解员工低碳出行的情 况,统计了 12 月 5 日 到 12 月 14 日共 10 天的低碳出行的人数,画出茎叶图如下: (1)若甲单位数据的平均数是 122,求 x ; (2)现从右图的数据中任取 4 天的数据(甲、乙两单位中 各取 2 天) ,记其中甲、乙两单位员工低碳出行人数不低于 130 人的天数为 ? 1 , ? 2 ,令? =? 1 ? ? 2 ,求 ? 的分布列和期望.

[来源:Zxxk.Com]

19. (本小题满分 12 分) 如图, 在三棱锥 P ? ABC 中, 平面 PAB ? 平面 ABC ,AB ? 6 , BC ? 2 3 ,AC ? 2 6 ,D, E 分别为线段 AB, BC 上的点,且 AD ? 2 DB , CE ? 2 EB , PD ? AC . (1)求证: PD ? 平面 ABC ; (2)若 PA 与平面 ABC 所成的角为 面 PDE 所成的锐二面角.

? ,求平面 PAC 与平 4

20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,以 F1F2 为直径的圆与直线 a 2 b2

ax ? 2by ? 3ab ? 0 相切.
(1)求椭圆 C 的离心率;

l (2)如图,过 F 1 作直线 与椭圆分别交于两点
P, Q ,若 ?PQF2 的周长为 4 2 ,求 F2 P ? F2Q
的最大值.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ?

1 1 ? ,a?R 且a ? 0. ax a

(1)讨论函数 f ( x ) 的单调性;
x (2)当 x ? [ , e] 时,试判断函数 g ( x) ? (ln x ?1)e ? x ? m 的零点个数.

1 e

请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。做答时请用 2B 铅 笔在答题卡上把所选题目 对应的题号涂黑。 22. (本小题满分 10 分) (选修 4 一 4:坐标系与参数方程) 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 过点 (1, 0) ,倾斜角为 ? ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴 为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程是 ? =

8cos ? . 1 ? cos 2 ?

(1)写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的直角坐标方程; (2)若 ? ?

?
4

,设直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点,求 ?AOB 的面积.

23. (本小题满分 10 分) (选修 4 一 5:不等式选讲)

设函数 f ( x) ? x ? 3 , g ( x) ? 2x ?1 . (1)解不等式 f ( x) ? g ( x) ; (2)若 2 f ( x) ? g ( x) ? ax ? 4 对任意的实数 x 恒成立,求 a 的取值范围.

数学(理科)参考答案
一、选择题 题号 答案 1
[ 来

2 D

3 D

4 C

5 C

6 B

7 A

8 B

9 D

10 D

11 C

12 A

源:Z+xx+k.Com]

A

二、填空题 13. -1; 14.

? 5? 0, ; ? ? 2? ?

15.

12 ; 35

16.

y??

10 x. 2

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤. 17.解析: (1) ?

?a2 ? a5 ? 2a1 ? 5d ? 25 ?a1 ? 5, ,求得 ? ? an ? 3n ? 2. ...............6 分 ?d ? 3, ? S5 ? 5a3 ? 5a1 ? 10d ? 55
1 1 1 1 1 ? ? ( ? )................8 分 an (3n ? 1) (3n ? 1)(3n ? 2) 3 3n ? 1 3n ? 2

(2) bn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Tn ? b1 ? b2 ? ? bn ? ( ? ? ? ? ? ? ? )? ( ? ), 3 2 5 5 8 3n ? 1 3n ? 2 3 2 3n ? 2

?Tn ?
18.解析: (1)由题意

1 1 n ? ? . ...............12 分 6 9n ? 6 2(3n ? 2)

105 ? 107 ? 113 ? 115 ? 119 ? 126 ? (120 ? x ) ? 132 ? 134 ? 141 ? 122 , 10

解得 x ? 8 ;...............4 分 (2)随机变量? 的所有取值有 0,1,2,3,4.

p(? ? 0) ?

2 2 C7 C6 7 ? ; 2 2 C10C10 45

p(? ? 1) ?

1 1 2 C7 C3C6 91 ? ; 2 2 C10C10 225

2 2 2 1 1 1 1 C32C6 ? C7 C4 ? C7 C3C6C4 1 p(? ? 2) ? ? ; 2 2 C10C10 3

p(? ? 3) ?

1 1 1 1 2 2 C32C6 C4 ? C7 C3C4 C32C4 22 2 ? ; p ( ? ? 4 ) ? ? ; ...............9 分 2 2 2 2 C10C10 225 C10C10 225

? ? 的分布列为:

?

0

1

2

3

4

P

7 45

91 225

1 3

22 225

2 225

E (? ) ? 0 ?

7 91 1 22 2 7 ? 1? ? 2 ? ? 3? ? 4? ? ...............12 分 45 225 3 225 225 5

19.(1)证明:连接 DE ,由题意知 AD ? 4, BD ? 2,

? AC2 ? BC2 ? AB2 ,??ACB ? 90?. cos?ABC ? ?CD2 ? 22 ? 12 ? 2 ? 2 ? 2 3 cos?ABC ? 8.
?CD 2 ? AD 2 ? AC 2 ,则 CD ? AB ,...............2 分

2 3 3 ? . 6 3

?CD ? 2 2.

又因为 平面 PAB ? 平面 ABC ,所以 CD ? 平面PAB,?CD ? PD, 因为 PD ? AC , AC , CD 都在平面 ABC 内, 所以 PD ? 平面 ABC ;...............4 分 (2)由(1)知 PD, CD, AB 两两互相垂直,建立如图所示的直角坐标系 D ? xyz ,

且 PA 与平面 ABC 所成的角为

? ,有 PD ? 4 , 4

则 A(0,?4,0),C (2 2,0,0), B(0,2,0), P(0,0,4) ∴ CB ? (?2 2,2,0), AC ? (2 2,4,0), PA ? (0,?4,?4) 因为 AD ? 2 DB, CE ? 2 EB,? DE // AC , 由(1)知 AC ? BC , PD ? 平面 ABC ,∴ CB ? 平面 DEP ...............8 分 ∴ CB ? (?2 2,2,0) 为平面 DEP 的一个法向量.

? ?n ? AC, ? 设平面 PAC 的法向量为 n ? ? x, y, z ? ,则 ? ? ?n ? PA,

∴?

?2 2 x ? 4 y ? 0 ?? 4 y ? 4 z ? 0

,令 z ? 1 ,则 x ? 2 , y ? ?1 ,...............10 分

∴ n ? ( 2,?1,1) 为平面 PAC 的一个法向量. ∴ cos ? n, CB ??

?4?2 3 ?? . 2 4 ? 12
3 , 2

故平面 PAC 与平面 PDE 的锐二面角的余弦值为
?

所以平面 PAC 与平面 PDE 的锐二面角为 30 ................12 分 20. 解 析 : ( 1 ) 由 题 意

? 3ab a 2 ? 4b 2

?c , 即

3a 2b2 ? c 2 (a 2 ? 4b2 ) ? (a 2 ? b2 )(a 2 ? 4b2 ).
所以 a ? 2b ,? e ?
2 2

2 ................4 分 2

( 2 ) 因 为 三 角 形 ?PQF2 的 周 长 为 4 2 , 所 以

4a ? 4 2,?a ? 2,
由(1)知 b ? 1 ,椭圆方程为
2

x2 ? y 2 ? 1 ,且焦点 F1 (?1,0), F2 (1,0) , 2

①若直线 l 斜率不存在,则可 得 l ? x 轴,方程为 x ? ?1, P (?1,

2 2 ), Q(?1,? ), 2 2

F2 P ? (?2,

7 2 2 ), F2Q ? (?2,? ) ,故 F2 P ? F2Q ? ................6 分 2 2 2

②若直线 l 斜率存在,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) , 由?

? y ? k ( x ? 1), ?x ? 2 y ? 2
2 2

消去 y 得 (2k ? 1) x ? 4k x ? 2k ? 2 ? 0 ,
2 2 2 2

4k 2 2k 2 ? 2 , x1 x2 ? 2 . ...............8 分 设 P ( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ? 2 2k ? 1 2k ? 1

F2 P ? F2Q ? ( x1 ?1, y1 ) ? ( x2 ?1, y2 ) ? ( x1 ?1)(x2 ?1) ? y1 y2 ,
则 F2 P ? F2Q ? (k 2 ?1) x1 x2 ? (k 2 ?1)(x1 ? x2 ) ? k 2 ?1. 代入韦达定理可得 F2 P ? F2Q ? (k 2 ? 1)

2k 2 ? 2 4k 2 7k 2 ? 1 7 9 2 2 ? ( k ? 1 )( ? ) ? k ? 1 ? ? ? , 2 2 2 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1 2 2(2k 2 ? 1)

由 k ? 0 可得 F2 P ? F2Q ? ( ?1,
2

7 7 ) ,结合当 k 不存在时的情况,得 F2 P ? F2Q ? (?1, ] , 2 2

所以 F2 P ? F2Q 最大值是 21.解析: (1) f ?( x) ?

7 ...............12 分 2

ax ? 1 , ( x ? 0) ax 2

当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 恒成立,所以函数 f ? x ? 是 ? 0, ??? 上的单调递增函数 ; 当 a ? 0 时, f ? ? x ? ?

ax ? 1 1 ? 0 ,得 x ? , 2 ax a

f ?( x ) ?

ax ? 1 1 ? 0 ,得 0 ? x ? , 2 ax a 1 a 1 a

函数单调递增区间为 ( ,?? ) ,减区间为 (0, ). 综上所述,当 a ? 0 时,函数 f ? x ? 增区间为 ? 0, ??? . . 当 a ? 0 时,函数单调递增区间为 ( ,?? ) ,减区间为 (0, ). ...............4 分
x (2)∵ x ? [ , e ] ,函数 g( x) ? (ln x ? 1)e ? x ? m 的零点,

1 a

1 a

1 e

即方程 (ln x ? 1)e ? x ? m 的根.
x

令 h ? x ? ? ? lnx ?1? e ? x , h? ? x ? ? ?
x

?1 ? ? lnx ? 1? e x ? 1. ................6 分 ?x ?
1 1 ? 1 在 [ ,1) 递 减 , 在 ?1,e? 上 递 增 , e x

由 ( 1 ) 知 当 a ?1 时 , ∴ f ? x ? ? f ?1? ? 0 .∴ ∴ h? ? x ? ? ?

f ? x ? ? lnx ?

1 1 ? lnx ? 1 ? 0 在 x ? [ , e ] 上恒成立. e x

?1 ? ? lnx ? 1? e x ? 1 ? 0 ? 1 ? 0 ,...............8 分 ?x ?
1 e

x ∴ h ? x ? ? ? lnx ?1? e ? x 在 x ? [ , e ] 上单调递增.

∴ h ? x ?min ? h ? ? ? ?2e e ?
1 e

?1? ?e?

1

1 , h( x) max ? e ..........10 分 e

1 1 1 所以当 m ? ?2e ? 或 m ? e 时,没有零点,当 ?2e e ? ? m ? e 时有一个零点................12 分 e e

22.(1)直线 l 的参数方程为: ?

? x ? 1 ? t cos ? , (t为参数). ? y ? t sin ?

……2 分 ……5 分

?? ?

8cos ? 2 2 2 2 ,? ? sin ? ? 8cos? , ? ? sin ? ? 8? cos? , 即y ? 8x. sin 2 ?
?

2 ? t, ?x ? 1? (2)当 ? ? 时,直线 l 的参数方程为: ? 2 (t为参数), ? 4 2 ?y ? t ? 2 ?

……6 分

代入 y ? 8x 可得 t ? 8 2t ?16 ? 0,
2
2

设A、B两点对应的参数分别为t1, t2 , 则 t1 ? t1 ? 8 2, t1 ? t2 ? ?16
? AB ? t1 ? t2 ? (t1 ? t2 ) 2 ? 4t1 ? t2 ? 8 3.
……8 分

又点O到直线AB的距离d ? 1? sin

?
4

?

2 , 2

? S?AOB ?

1 1 2 AB ? d ? ? 8 3 ? ? 2 6. 2 2 2

……10 分

23.(本小题满分 10 分) 解: (1)由已知,可得 x ? 3 ? 2x ?1 ,

即 x ? 3 ? 2x ?1 .

2

2

……1 分 ……3 分 ……4 分

2 则有:3x2 ?10 x ? 8 ? 0, ? x ? ? 或x ? 4. 3 2 故所求不等式的解集为: (??, ? ) ? (4, ??). 3

? ??4 x ? 5, x ? ?3, ? 1 ? (2)由已知,设h( x) ? 2 f ( x) ? g ( x) ? 2 x ? 3 ? 2 x ? 1 ? ?7, ?3 ? x ? , 2 ? 1 ? 4 x ? 5, x ? . ? ? 2 ……6 分
当x ? ?3时,只需 ? 4 x ? 5 ? ax ? 4恒成立,即ax ? ?4 x ? 9,
? x ? ?3 ? 0 ?a ? ?4 x ? 9 9 ? ?4 ? 恒成立. x x
……7 分

9 ? a ? (?4 ? ) max ,? a ? ?1, x

1 当 ? 3 ? x ? 时,只需7 ? ax ? 4恒成立, 即ax ? 3 ? 0恒成立. 2

?? 3a ? 3 ? 0 ?a ? ?1 ? 只需? 1 ,? ? ,? ?1 ? a ? 6. a ?3? 0 ?a ? 6 ? ?2

……8 分

1 当x ? 时,只需4 x ? 5 ? ax ? 4恒成立, 即ax ? 4 x ? 1. 2 ?x ? 1 ? 0, 2 ?a ? 4x ?1 1 ? 4 ? 恒成立. x x

?4 ?

1 ? 4 ,且无限趋近于 4, x
……9 分 ……10 分

? a ? 4.

综上, a 的取值范围是 ( ?1, 4].


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